Granica ciągu a całka
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Granica ciągu a całka
Wiadomo, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x ^{10} dx= \frac{1}{11} }\). Niech \(\displaystyle{ g= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n ^{11} }(1^{11}+2^{11}+...+n^{11}) }\) . Prawdziwa jest relacja:
a) \(\displaystyle{ g<\frac{1}{11}}\)
b)\(\displaystyle{ g=\frac{1}{11}}\)
c) \(\displaystyle{ g>\frac{1}{11}}\)
d) \(\displaystyle{ g=(\frac{1}{11})^2}\)
Nie jestem pewna, ale wydaje mi się, że poprawną odpowiedzią będzie c), bo granica g będzie wynosiła 1, dobrze myślę?
a) \(\displaystyle{ g<\frac{1}{11}}\)
b)\(\displaystyle{ g=\frac{1}{11}}\)
c) \(\displaystyle{ g>\frac{1}{11}}\)
d) \(\displaystyle{ g=(\frac{1}{11})^2}\)
Nie jestem pewna, ale wydaje mi się, że poprawną odpowiedzią będzie c), bo granica g będzie wynosiła 1, dobrze myślę?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Granica ciągu a całka
Jeśli pod limesem miało być \(\displaystyle{ n \to \infty}\), zamiast \(\displaystyle{ x \to \infty}\), to nie, ta granica to \(\displaystyle{ +\infty}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 9 razy
Re: Granica ciągu a całka
Tak miało być \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). W takim razie, jak sprawdzić, lub wywnioskować, która odpowiedź jest prawidłowa, bo nie mam pomysłu ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Granica ciągu a całka
Wygodnie jest użyć twierdzenia Soltza albo zauważyć sumę Riemanna, bo
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{11}}\left(1^{11} + 2^{11} + \ldots + n^{11}\right) = n \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) = x^{11}}\). Teraz, do czego dążą oba kawałki tego iloczynu? Przy okazji, gdyby w mianowniku tej granicy było \(\displaystyle{ n^{12}}\) zamiast \(\displaystyle{ n^{11}}\), byłoby troszkę ciekawiej.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{11}}\left(1^{11} + 2^{11} + \ldots + n^{11}\right) = n \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) = x^{11}}\). Teraz, do czego dążą oba kawałki tego iloczynu? Przy okazji, gdyby w mianowniku tej granicy było \(\displaystyle{ n^{12}}\) zamiast \(\displaystyle{ n^{11}}\), byłoby troszkę ciekawiej.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Granica ciągu a całka
Ta całka tylko myli. Wyrażenie którego granice liczymy jest większe od jedynki (popatrz na ostatni wyraz), więc poprawną może być tylko odpowiedź c