Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mikesz1738
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

Post autor: mikesz1738 »

Witam,

Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach uzasadnić równość

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \log_{n+1}(n^2+1) = 2}\)

Chciałem znaleźć dwa takie ciągi \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n} }\) aby dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) zachodziło \(\displaystyle{ a_{n} \le \log_{n+1}(n^2+1) \le b_{n} }\) i oczywiście dobrane ciągi miały takie same granice.

Ponieważ \(\displaystyle{ n^2+1 < n^2+ 2n + 1 = (n+1)^{2} }\) to na podstawie własności monotoniczności funkcji logarytmicznej można napisać:

\(\displaystyle{ \log_{n+1}(n^2+1) < \log_{n+1}(n+1)^{2} = 2}\)

Wynika z tego, że wszystkie wyrazy zadanego ciągu są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\) tak więc mogę przyjąć jako \(\displaystyle{ b_{n} }\) ciąg stały \(\displaystyle{ b_{n} = 2 }\)

Zupełnie natomiast nie wiem w jaki sposób dobrać ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\). Proszę o pokierowanie.

Pozdrawiam,

Michał
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

Post autor: Dasio11 »

Możesz wziąć \(\displaystyle{ a_n = \log_{2n}(n^2)}\) i skorzystać ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.
mikesz1738
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach

Post autor: mikesz1738 »

Dziękuję za wskazówkę. Udało mi się sprawdzić, że proponowany ciąg spełnia wymagania twierdzenia.
ODPOWIEDZ