Witam,
Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach uzasadnić równość
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \log_{n+1}(n^2+1) = 2}\)
Chciałem znaleźć dwa takie ciągi \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n} }\) aby dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n}\) zachodziło \(\displaystyle{ a_{n} \le \log_{n+1}(n^2+1) \le b_{n} }\) i oczywiście dobrane ciągi miały takie same granice.
Ponieważ \(\displaystyle{ n^2+1 < n^2+ 2n + 1 = (n+1)^{2} }\) to na podstawie własności monotoniczności funkcji logarytmicznej można napisać:
\(\displaystyle{ \log_{n+1}(n^2+1) < \log_{n+1}(n+1)^{2} = 2}\)
Wynika z tego, że wszystkie wyrazy zadanego ciągu są mniejsze od \(\displaystyle{ 2}\) tak więc mogę przyjąć jako \(\displaystyle{ b_{n} }\) ciąg stały \(\displaystyle{ b_{n} = 2 }\)
Zupełnie natomiast nie wiem w jaki sposób dobrać ciąg \(\displaystyle{ a_{n} }\). Proszę o pokierowanie.
Pozdrawiam,
Michał
Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
Możesz wziąć \(\displaystyle{ a_n = \log_{2n}(n^2)}\) i skorzystać ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 0
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Uzasadnić wartość granicy na podstawie twierdzenia o trzech ciągach
Dziękuję za wskazówkę. Udało mi się sprawdzić, że proponowany ciąg spełnia wymagania twierdzenia.