Ciąg Lucasa

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Ciąg Lucasa

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić że dla ciągu Lucasa \(\displaystyle{ 1, 3, 4, 7, 11, ...}\) jest \(\displaystyle{ L_n \leq \left( \frac{7}{4}\right)^n}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2, 3,...}\)
Ostatnio zmieniony 31 maja 2021, o 12:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Ciąg Lucasa

Post autor: Premislav »

Indukcja po \(\displaystyle{ n}\), z wykorzystaniem zależności \(\displaystyle{ L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}}\).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, bo \(\displaystyle{ 1\le \frac{7}{4}}\), podobnie dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest OK, gdyż
\(\displaystyle{ 3\le \frac{49}{16}=\left(\frac{7}{4}\right)^2}\).
Przypuśćmy, że nierówność z tezy zachodzi dla pewnych indeksów \(\displaystyle{ n-1, n}\). Wówczas
\(\displaystyle{ L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}\le \left(\frac{7}{4}\right)^n+\left(\frac{7}{4}\right)^{n-1}\\=\frac{11}{4}\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{n-1}<\frac{49}{16}\cdot \left(\frac{7}{4}\right)^{n-1}=\left(\frac{7}{4}\right)^{n+1}}\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla dowolnego \(\displaystyle{ n\ge 1}\).
ODPOWIEDZ