Monotoniczność ciągu, liczby zespolone

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Monotoniczność ciągu, liczby zespolone

Post autor: guserd »

Do sprawdzenia mam monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ a_{n} := \left( \frac{3+4i}{5} \right) ^{n}}\) .

Już udało mi się zbadać, że ciąg jest rozbieżny i ograniczony. Nie wiem teraz tylko co z tą monotonicznością. Nie mam jeszcze żadnego co do tego założenia.

Sprawdziłem stosunek \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = \left( \frac{3+4i}{5}\right) ^{n} \left( \frac{4i-2}{5}\right)}\) Wydaje mi się, że więcej można wywnioskować z tego pierwszego, ale ciężko jest mi powiedzieć coś więcej niż to, że \( \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i \) leży w pierwszej ćwiartce.

W liczbach rzeczywistych zazwyczaj musimy doprowadzać całość do \( >1 \) lub \( <1 \).
Na moją "matematyczną intuicję" więc powiedziałbym, że \( a_{n} \) jest malejący, bo zarówno \( \frac{3}{5} < 1 \) jak i \( y = \frac{4}{5} < 1 \), ale wątpię, żeby to było poprawnym uzasadnieniem.
Ostatnio zmieniony 26 maja 2021, o 23:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Monotoniczność ciągu, liczby zespolone

Post autor: Janusz Tracz »

Nie można mówić o porządku \(\displaystyle{ <}\) na liczbach zespolonych bo go tam nie ma. Treść nie ma sensu jeśli każą sprawdzać monotoniczność bo nie można sensownie porównywać licz zespolonych.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Monotoniczność ciągu, liczby zespolone

Post autor: guserd »

Dziękuję za odpowiedź, najwidoczniej w treści polecenia jest błąd - pewnie wynika to z tego że jest kilka podpunktów i to jest ostatni. Jest jeszcze jeden z liczbami zespolonymi, ale w module, a te już da się uporządkować, bo po przekształceniu wychodzą liczby rzeczywiste. ;)
ODPOWIEDZ