Granica ciągu, liczba Eulera

[guserd]

Mam za zadanie zbadać podany ciąg: \(\displaystyle{ a_{n} := \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}\) na zbieżność, monotoniczność i ograniczenie.

Myślę, że ten ciąg wykazuje takie same cechy jak ciąg \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n}\right) ^{n}}\) . Wyrazy wyżej podanego ciągu znacznie szybciej zbiegają do \( e \), Ciąg jest więc zbieżny, z tego wynika więc że jest też ograniczony. Oprócz tego jest też rosnący.

Stąd moje pytanie: muszę wszystko po kolei udowadniać (zbieżność i to, że jest rosnący, ograniczenie wynika ze zbieżności) czy mogę powołać się na jakieś własności? Bo np. zbieżność do \(e\) wydaje mi się dosyć logiczna, jeżeli ciąg wygląda tak samo, tylko różni się wzór jego potęgi ( \(n\) jest \(n\) razy większe).

A dowód na to że ciąg jest rosnący, a więc \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 0}\) przez te \( n^{2} \) w potędze wydaje mi się dość skomplikowane, zdążyłem już nawet utknąć w pewnym momencie:

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)^{2}} \left( 1 + \frac{1}{n}\right) ^{-n^{2}} = \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{(n+1)^{2}} \left( \frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}}\)
Nie za bardzo wiem co mogę zrobić z tym \( n^{2} \) i \( (n+1)^{2} \), żeby wyszło mi coś sensownego...

Z góry dziękuję za wskazówki.

[Jan Kraszewski]

Myślę, że ten ciąg wykazuje takie same cechy jak ciąg \( (1 + \frac{1}{n})^{n} \) . Wyrazy wyżej podanego ciągu znacznie szybciej zbiegają do \( e \),

Jesteś w błędnym błędzie...

Jeżeli wiesz, że ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n }\) jest ciągiem rosnącym (zbieżnym do \(\displaystyle{ e}\)), to wiesz, że \(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\ge 2 }\), więc powinieneś zauważyć, że

\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}= \left( \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n\right)^n\ge 2^n }\)

skąd widać, że ten ciąg dość szybko rozbiega do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Dlatego na Twoim miejscu zachowałbym sporą rezerwę w odniesieniu do własnych "logicznych intuicji"...

JK

[Janusz Tracz]

Można zauważy, że kładąc \(\displaystyle{ x=1/n}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha =n^2}\) do nierówność Bernoulliego

\(\displaystyle{ (1+x)^{\alpha }\geqslant 1+\alpha x\quad {\text{dla}}\quad \alpha \geqslant 1, x\geqslant-1}\)

dostaniemy, że

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}\geqslant 1+n }\)

oczywiści \(\displaystyle{ 1+n}\) jest dowolnie duże więc \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2} \rightarrow \infty }\).

[guserd]

Dlatego na Twoim miejscu zachowałbym sporą rezerwę w odniesieniu do własnych "logicznych intuicji"...

Niestety moja matematyczna intuicja zazwyczaj zawodzi i jeżeli coś wydaje mi się oczywiste i logiczne i szybko wyciągam z tego wnioski to zazwyczaj nie jest prawdą. Dziękuję za wskazówkę. Czyli pokazane przez Pana spostrzeżenie jest formalnym dowodem na to, że ciąg zbiega do nieskończoności?

dostaniemy, że

\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2}\geqslant 1+n }\)

oczywiści \(\displaystyle{ 1+n}\) jest dowolnie duże więc \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n^2} \rightarrow \infty }\).

Za pomocą Bernouliego udało mi się udowodnić, że ciąg jest silnie rosnący. Nie wiedziałem, że może to posłużyć też do pokazania, że ciąg zbiega do nieskończoności. Bardzo dziękuję za ten sposób!

To mój dowód(z zastosowaniem Bernouliego) w skrócie:

Przypuszczenie: ciąg silnie rosnący

\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \ge \frac{2+n}{1+n} = 1 + \frac{1}{n+1} > 1 + \frac{1}{n+2}>1 \) cnd.

O wiele szybszy i przyjemniejszy sposób, niż to co próbowałem zrobić u góry

[Janusz Tracz]

To mój dowód(z zastosowaniem Bernouliego) w skrócie:

Przypuszczenie: ciąg silnie rosnący

\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \ge \frac{2+n}{1+n} = 1 + \frac{1}{n+1} > 1 + \frac{1}{n+2}>1 \) cnd.

O wiele szybszy i przyjemniejszy sposób, niż to co próbowałem zrobić u góry

A czego tu dowodzisz? Dopytuje bo mam wrażenia jakbyś chciał wyciągnąć wniosek o rozbieżności ciągu na postawie jego monotoniczności.

\(\displaystyle{ \text{ciąg jest rosnący} \not \Rightarrow \text{ciąg jest rozbieżny do } \infty }\)

swoją drogą implikacja przeciwna też nie zachodzi.

[guserd]

chcę pokazać monotoniczność ciągu - każdy kolejny wyraz jest od siebie większy (zachodzi relacja \( a_{n+1} > a_{n} \) czyli \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \) - ciąg silnie rosnący)

[a4karo]

A skąd ta pierwsza nierówność? Z faktu, że `a_n>1+n` nie wynika, że ilorazy tak się zachowują jak piszesz.

Jeżeli \(\displaystyle{ e_n= \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n }\), to \(\displaystyle{ a_n=e_n^n<e_{n+1}^n<e_{n+1}^{n+1}=a^{n+1}}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli pokazane przez Pana spostrzeżenie jest formalnym dowodem na to, że ciąg zbiega do nieskończoności?

A znasz twierdzenie o dwóch ciągach?

JK

[guserd]

Czyli pokazane przez Pana spostrzeżenie jest formalnym dowodem na to, że ciąg zbiega do nieskończoności?

A znasz twierdzenie o dwóch ciągach?

JK

Tak, dziękuję.