Niech \(a_{1} \in (0, 1) \) i \( a_{n+1} = \frac{2a_{n}}{1+a_{n}} \) dla \(n \in \mathbb{N} \)
Zbadaj czy ciąg \( a_{n}, n \in \mathbb{N} \) na monotoniczność, zbieżność i ograniczenie. Jeżeli ciąg jest zbieżny, podaj wartość granicy.
Za pomocą indukcji matematycznej dowiodłem, że każde \( a_{n} \in (0, 1) \) Czy z tego wynika, że ciąg jest monotoniczny?
I co w takim razie z granicą i ograniczeniem?
Monotoniczność, zbieżność i ograniczenie ciągu
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Monotoniczność, zbieżność i ograniczenie ciągu
A w jaki sposób miałoby to wynikać z tego, że "każde \( a_{n} \in (0, 1) \)"? Czy np. ciąg \(\displaystyle{ b_n=\frac12+ \frac{(-1)^n}{4} }\) jest monotoniczny? A przecież każde \( b_{n} \in (0, 1) \).
Skoro już wiesz, że to ciąg o wyrazach dodatnich, to zbadaj jak iloraz \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}}\) ma się w stosunku do jedynki.
Pokazałeś, że "każde \( a_{n} \in (0, 1) \)". Czy to ma jakiś związek z ograniczeniem?
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Monotoniczność, zbieżność i ograniczenie ciągu
Intuicja jest taka, że niezależnie od warunku początkowego \(\displaystyle{ a_0}\) kolejne iteracje/złożenia \(\displaystyle{ f^{n}(a_0)}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{2x}{1+x} }\) zbiegają do punktu stałego \(\displaystyle{ 1}\). Zobacz jak wygląda wykres Cobweb-Verhulst zrobiony specialnie dla takiego układu dynamicznego . Oś pionowa to \(\displaystyle{ f(a_n)=a_{n+1}}\) pozioma to \(\displaystyle{ a_n}\) a warunek początkowy \(\displaystyle{ a_0}\) przemiata wartości \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\). Potem widać kolejne zbieżne iteracje.