Granice ciągów

[guserd]

Oblicz jeśli to możliwe granice poniższych ciągów:

a) \( a_{n} := \frac{ (2n+in)^{2} + 3in}{ (n+i)^{2} } \)

b) \( a_{n} := \sqrt{n^{2}+5n} - \sqrt{n^{2} + 7n} \)

Po przeanalizowaniu dwóch ciągów wydaje mi się, że w obydwu nie jest możliwe określenie ich granicy, w pierwszym wyszło mi nieskończoność przez nieskończoność i w drugim nieskończoność minus nieskończoność i w obu przypadkach na podstawie tego nie można określić granicy ciągów.

Wydaje mi się jednak mało prawdopodobne, że w obu przykładach nie można byłoby określić granicy. Można więc w którymś z przykładów obliczyć granicę?

[Premislav]

W pierwszym podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\), zaś w drugim zastosuj wzór
\(\displaystyle{ a-b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a+b}}\) dla \(\displaystyle{ a=\sqrt{n^2+5n}, \ b=\sqrt{n^2+7n}}\). Obydwie granice istnieją.

[Janusz Tracz]

Zacznij od dokładnego przemyślenia ile wynoszą te granice

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n}, \quad \lim_{n \to \infty } \frac{n+1}{n},\quad \lim_{n \to \infty }\left( n-(n-3)\right) ,\quad \lim_{n \to \infty } \frac{n}{n^2} }\)

każda z nich daje symbol nieoznaczony lecz każda istnieje. Potem przejdź do podpunktu \(\displaystyle{ (b)}\) pamiętając, że \(\displaystyle{ \xi-\eta= \frac{\xi^2-\eta^2}{\xi+\eta} }\). Potem możesz pomyśleć nad \(\displaystyle{ (a)}\) tylko jeszcze objaśnij proszę czym jest \(\displaystyle{ i}\) w tej granicy.

[guserd]

Dziękuję za obie podpowiedzi. Wydaje mi się, że udało mi się z tym uporać. W pierwszym wyszło mi \(\displaystyle{ 3 + 4i}\), a w drugim \(\displaystyle{ -2}\). Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

W drugim źle.

JK

[guserd]

Już znalazłem błąd. W drugim \( -1 \). Dziękuję za zwrócenie uwagi.

[Jan Kraszewski]

Teraz dobrze.

JK