zbieżność ciągu rekurencyjnego

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 74
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 35 razy

zbieżność ciągu rekurencyjnego

Post autor: klimat » 6 maja 2021, o 15:28

Zbadaj zbieżność ciągu zdefiniowanego tak, ze \(\displaystyle{ a_{n} \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{a_n}+\frac{1}{1+n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN.}\)
Ostatnio zmieniony 6 maja 2021, o 19:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15336
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 173 razy
Pomógł: 5101 razy

Re: zbieżność ciągu rekurencyjnego

Post autor: Premislav » 9 maja 2021, o 10:50

Niechaj \(\displaystyle{ b_{n}:=a_{n}-\frac{1}{n}, \ n=1,2\ldots}\). Wówczas zachodzi
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{b_{n}+\frac{1}{n}}}\)
Zauważmy dwie kluczowe rzeczy:
po pierwsze, jeśli \(\displaystyle{ 0\le x\le 1}\), to \(\displaystyle{ \sqrt{x+\frac{1}{n}}>x}\). Jest to całkiem oczywiste i zostawiam to jako ćwiczenie. Po drugie, jeśli \(\displaystyle{ 1<x}\), to również \(\displaystyle{ 1<\sqrt{x+\frac{1}{n}} \ (*)}\). To także zostawiam w charakterze nietrudnego ćwiczenia.

Przypuśćmy więc, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) jest \(\displaystyle{ b_{n}\le 1}\). Wówczas ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest rosnący i ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\), a więc zbieżny. Przechodząc do granicy w równaniu rekurencyjnym mamy \(\displaystyle{ g=\sqrt{g}}\), tj. \(\displaystyle{ g=0\vee g=1}\), a że \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest w rozważanym przypadku rosnący (od pewnego miejsca, żeby zbić ewentualny problem z indeksowaniem od zera) i od pewnego miejsca dodatni, więc nie może być \(\displaystyle{ g=0}\), przeto \(\displaystyle{ g=1}\).

Teraz dla odmiany przypuśćmy, że istnieje takie \(\displaystyle{ k\in \NN^{+}}\), że \(\displaystyle{ b_{k}>1}\). Korzystając z \(\displaystyle{ (*)}\), łatwo wykazać (np. indukcyjnie), że dla każdego \(\displaystyle{ l>k}\) jest \(\displaystyle{ b_{l}>1}\). Teraz będzie troszeczkę ciekawiej:
mamy
\(\displaystyle{ \left|b_{n+1}+b_{n}\right|\left|b_{n+1}-b_{n}\right|\\=\left|b_{n+1}^2-b_{n}^2\right|\\=\left|b_{n}-b_{n-1}-\frac{1}{n(n-1)}\right|\le \left|b_{n}-b_{n-1}\right|+\frac{1}{n(n-1)}}\)
i ponieważ dla \(\displaystyle{ l>k}\) jest \(\displaystyle{ b_{l}>1}\), to dla \(\displaystyle{ n\ge l}\) mamy
\(\displaystyle{ |b_{n+1}-b_{n}|\le \frac{|b_{n}-b_{n-1}|}{2}+\frac{1}{2n(n-1)}}\)
Korzystając z tej nierówności i zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{2n(n-1)}}\), łatwo wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (b_{n})}\) jest ciągiem Cauchy'ego, toteż jest zbieżny, a że \(\displaystyle{ b_{n}=a_{n}-\frac{1}{n}}\), to \(\displaystyle{ (a_{n})}\) także jest zbieżny.

EDIT: poprawiam literówkę w indeksach, która w ogóle nie zmienia sensu rozwiązania.

ODPOWIEDZ