Uzasadnić granicę ciągu na podstawie definicji

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mikesz1738
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Uzasadnić granicę ciągu na podstawie definicji

Post autor: mikesz1738 »

Witam,

Na podstawie definicji uzasadnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} = 0}\)

Korzystam z definicji granicy podanej w postaci (po podstawieniu danych tematowych):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} = 0 \Leftrightarrow \bigwedge_{ \epsilon\gt0} \bigvee_{ n_{0} \in N_{+}}\bigwedge_{ n \in N_{+}} n \gt n_{0} \Rightarrow \left| \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} - 0 \right| \lt \epsilon }\)

Ostatnią nierówność można od razu uprościć do postaci \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} \lt \epsilon}\)

Tutaj pojawił się problem bo nie bardzo potrafiłem sobie poradzić z tym pierwiastkiem. Ostatecznie wymyśliłem coś takiego:

\(\displaystyle{ 1 \le n}\)

\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{n} }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{n}+1 \le \sqrt{n}+\sqrt{n} }\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} }\)

Chciałbym w związku z tym pokazać \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\)

\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{n} \lt \epsilon \cdot n}\)

\(\displaystyle{ \left[ 2\sqrt{n}\right] ^{2} \lt \left[ \epsilon \cdot n\right] ^{2} }\)

\(\displaystyle{ 4n \lt \epsilon^{2} n^{2} }\)

\(\displaystyle{ 4 \lt \epsilon^{2} n }\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \lt n }\)

Teraz wybierając dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n_{0}}\) taką, że\(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \le n _{0} }\) z warunku \(\displaystyle{ n_{0} \lt n }\) mam \(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \le n _{0} \lt n }\) a więc \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\) czyli faktycznie zachodzi implikacja wymagana w definicji granicy.

Proszę o sprawdzenie.

Pozdrawiam
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Uzasadnić granicę ciągu na podstawie definicji

Post autor: matmatmm »

mikesz1738 pisze: 12 kwie 2021, o 13:52 Korzystam z definicji granicy podanej w postaci (po podstawieniu danych tematowych):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} = 0 \Leftrightarrow \bigwedge_{ \epsilon\gt0} \bigvee_{ n_{0} \in N_{+}}\bigwedge_{ n \in N_{+}} n \gt n_{0} \Rightarrow \left| \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} - 0 \right| \lt \epsilon }\)
Może ktoś powie, że się czepiam, ale za poprawne uznałbym napisanie raczej:

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} \to_{n\to\infty} 0 \Leftrightarrow \bigwedge_{ \epsilon\gt0} \bigvee_{ n_{0} \in N_{+}}\bigwedge_{ n \in N_{+}} n \gt n_{0} \Rightarrow \left| \frac{ \sqrt{n}+1 }{n} - 0 \right| \lt \epsilon }\)

z tego względu, że jeśli na wstępie napiszesz "twoją" równoważność, to musiałbyś najpierw uzasadnić istnienie tej granicy.
Tutaj pojawił się problem bo nie bardzo potrafiłem sobie poradzić z tym pierwiastkiem. Ostatecznie wymyśliłem coś takiego:

\(\displaystyle{ 1 \le n}\)

\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt{n} }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{n}+1 \le \sqrt{n}+\sqrt{n} }\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} }\)
Tutaj brakuje komentarza. Powinieneś napisać, że powyższe nierówności zachodzą dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) (Ja musiałem się tego domyślić).
Chciałbym w związku z tym pokazać \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\)
Jest mowa o jakimś \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ \epsilon}\), ale tak naprawdę nie wiadomo co robisz.
\(\displaystyle{ \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{n} \lt \epsilon \cdot n}\)

\(\displaystyle{ \left[ 2\sqrt{n}\right] ^{2} \lt \left[ \epsilon \cdot n\right] ^{2} }\)

\(\displaystyle{ 4n \lt \epsilon^{2} n^{2} }\)

\(\displaystyle{ 4 \lt \epsilon^{2} n }\)

\(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \lt n }\)
Tutaj znowu brakuje komentarza. Ja domyśliłem się, że przekształcasz równoważnie nierówność dla dowolnych \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ \epsilon}\). Wypadałoby to napisać.
Teraz wybierając dowolną liczbę naturalną \(\displaystyle{ n_{0}}\) taką, że\(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \le n _{0} }\) z warunku \(\displaystyle{ n_{0} \lt n }\) mam \(\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon^{2}} \le n _{0} \lt n }\) a więc \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n}+1 }{n} \le \frac{2\sqrt{n}}{n} \lt \epsilon}\) czyli faktycznie zachodzi implikacja wymagana w definicji granicy.
Rozumowanie co do istoty jest poprawne, ale zapisane w sposób nieścisły. Brakuje ustalenia dowolnego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) na samym początku i być może jakiegoś odniesienia do tego, że korzystasz z wcześniej wykazanych własności. Warto byłoby też powołać się jawnie na tzw. "pewnik" Archimedesa, z którego korzystasz, gdy dobierasz \(\displaystyle{ n_0}\).
mikesz1738
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 5 cze 2020, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Uzasadnić granicę ciągu na podstawie definicji

Post autor: mikesz1738 »

Dziękuję za dokładne sprawdzenie i trafne uwagi.
ODPOWIEDZ