Cześć!
Mam polecenie, żeby zbadać z definicji, czy podany punkt jest granicą ciągu:
\(\displaystyle{ b = (1, 2) \qquad b^k = (\frac{3k^2 - 2k + 1}{k + 3}, \frac{k^2 - 1}{k^3})}\)
Normalnie licząc, widać, że nie jest, bo żadna współrzędna się nie zgadza.
Definicja:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\varepsilon > 0} \bigvee\limits_{N \in \mathbb{N}}\bigwedge\limits_{k > N} \qquad d(a^k, a) < \varepsilon}\)
Używamy w tych zadaniach metryki euklidesowej. Liczę odległość i dochodzę do takiego jej ograniczenia:
\(\displaystyle{ d(b^k, b) \leq \sqrt{18}k}\)
Ograniczam to jeszcze z dołu, żeby zapisać to za pomocą nierówności w drugą stronę pod kwantyfikatorami. Dochodzę do:
\(\displaystyle{ d(b^k, b) > 1}\)
Ta liczba mogłaby był trochę większa, ale to nie jest aż takie istotne.
Moje pytanie brzmi: jaki zaproponować bardziej konkretny \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\), żeby uzasadnić, że ten punkt nie jest granicą ciągu?
Bardzo proszę o pomoc i z góry dziękuję.
Badanie z definicji, czy punkt jest granicą ciągu, problem z dobraniem epsilona
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Badanie z definicji, czy punkt jest granicą ciągu, problem z dobraniem epsilona
Można przyjąć \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{4481}}{40} }\). Wtedy dla dowolnego \(\displaystyle{ N\in\NN}\) kładziemy \(\displaystyle{ k=N+1}\) i będziemy mieli to co trzeba bo \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right) \ge \epsilon}\). Liczba \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{4481}}{40}}\) jest bowiem minimum \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)}\) określonego na \(\displaystyle{ \NN}\). Oczywiście niczego nie pokazałem formalnie ale wyrażenie
\(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)=\sqrt{\left(\frac{3 k^2-2 k-1}{k+3}-1\right)^2+\left(\frac{k^2-1}{k^3}-2\right)^2}}\)
jest ograniczone z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{4481}}{40}}\), a wartość tą przyjmuje dla \(\displaystyle{ k=2}\). Jeśli pokazanie tego okazało by się zbyt problematyczne to zauważ, że dla każdego \(\displaystyle{ k\in \NN}\) ciąg \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)}\) przyjmuje wartości dodatnie. Ponad to \(\displaystyle{ d\left( b_k,b\right)\not \rightarrow 0}\) zatem można brać \(\displaystyle{ \inf_{k\in\NN}d\left( b_k,b\right)}\) jako kandydata na epsilon istnieje i jest dodatnie.