Granica ciągu określonego rekurencyjnie

[ehogarth]

Witam,
dany jest ciąg określony następująco:
\(\displaystyle{ a_{1}=0,\quad a_{2}=1,\quad a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}}\)
mam pokazać, że granica tego ciągu wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
Wiem, że bez problemu można otrzymać postać jawną tego ciągu za pomocą równania charakterystycznego, jednak zadanie umieszczono w podręczniku w dziale, w którym powyższa metoda nie została wyjaśniona. Wierzę więc, że istnieje inny sposób.
Po wyliczeniu kilku pierwszych wyrazów ciągu :
\(\displaystyle{ a_{1}=0,\quad a_{2}=1,\quad a_{3}=\frac{1}{2},\quad a_{4}=\frac{3}{4},\quad a_{5}=\frac{5}{8},\quad a_{6}=\frac{11}{16}}\)
zauważyłam( i udało mi się wykazać indukcyjnie), że podciąg utworzony z wyrazów parzystych jest malejący i ograniczony z dołu, natomiast podciąg utworzony z wyrazów nieparzystych jest rosnący i ograniczony z góry. Zatem oba są zbieżne, przyjęłam \(\displaystyle{ \quad a_{2n-1} \rightarrow g_{1},\quad a_{2n} \rightarrow g_{2}}\)
Po przejściu do granicy we wzorze rekurencyjnym, dostajemy \(\displaystyle{ \quad g_{1}=g_{2}=g\quad }\). Więc również \(\displaystyle{ \quad a_{n} \rightarrow g\quad}\). Teraz nie wiem jak pokazać, że \(\displaystyle{ \quad g=\frac{2}{3} \quad }\)
Z góry dziękuję za pomoc

[a4karo]

Wstaw wyrażenia graniczne do równania (raz dla n parzystych, drugi raz dla nie parzystych) . Dostaniesz układ równań z niewiadomymi `g_1, g_2`

Dodano po 4 minutach 7 sekundach:
Metoda 2: pokaż, że `|a_n-a_{n-1}|=|a_{n-1}-a_{n-2}|/2`

[ehogarth]

Wstaw wyrażenia graniczne do równania (raz dla n parzystych, drugi raz dla nie parzystych) . Dostaniesz układ równań z niewiadomymi `g_1, g_2`

Dodano po 4 minutach 7 sekundach:
Metoda 2: pokaż, że `|a_n-a_{n-1}|=|a_{n-1}-a_{n-2}|/2`

Układ jest nieoznaczony

Drugiej metody nie rozumiem

[a4karo]

Wsk 2 `2a_n+a_{n-1}=2a_{n-1}+a_{n-2}=...=2a_1+a_0`

[ehogarth]

Wsk 2 `2a_n+a_{n-1}=2a_{n-1}+a_{n-2}=...=2a_1+a_0`

I wszystko jasne
\(\displaystyle{ 2a_{n}+a_{n-1}=2\quad\Longrightarrow\quad 3g=2\quad\Longrightarrow\quad g=\frac{2}{3}}\)
Dziękuję za pomoc