Witam,
mam problem z obliczeniem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]n!}{n} }\). Udało mi się dojść do wyniku, który wskazał Wolfram \(\displaystyle{ (\frac{1}{e})}\) po zastosowaniu wzoru Stirlinga:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \approx \frac{n\sqrt[2n]{2\pi n}}{n e}= \frac{\sqrt[2n]{\pi}\cdot \sqrt[2n]{2n}} {e} \rightarrow \frac{1}{e}}\)
Mam jednak pytanie, czy takie rozwiązanie jest poprawne? skoro jest to jedynie wartość przybliżona oraz czy znacie inny sposób na obliczenie tej granicy?
Z góry dziękuję
Granica ciągu
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Granica ciągu
Jest poprawne, bo
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{ \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}} = 1}\).
Innym sposobem jest zastosowanie faktu że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\),
o ile granica po prawej stronie istnieje, do ciągu \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{ \left( \frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2 \pi n}} = 1}\).
Innym sposobem jest zastosowanie faktu że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}}\),
o ile granica po prawej stronie istnieje, do ciągu \(\displaystyle{ \frac{n!}{n^n}}\).