Ograniczenie ciągu

[mikesz1738]

Witam,

Należy sprawdzić czy podany ciąg jest ograniczony

\(\displaystyle{ f _{n} = 1+ \frac{2}{ 2^{1} } + \frac{3}{ 2^{2} }+ ... + \frac{n}{ 2^{n-1} }}\)

Pierwsze na co zwróciłem uwagę w powyższym zapisie, to że każdy ułamek jest liczbą dodatnią a więc \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n \ge 1}f _{n} \ge
1}\)
Ciąg jest więc ograniczony z dołu (chyba nawet przez \(\displaystyle{ m=2}\) ale to nie tutaj mam problem).

Problemem jest pokazanie, że ciąg jest ograniczony z góry. Chciałem dobrać taki ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) żeby było \(\displaystyle{ f_{n} \le x_{n} \le M}\)

Niestety jedyne co udało mi się zdziałać to pokazanie (chyba poprawnie), że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n \ge 1}\frac{n}{ 2^{n-1}} \le 1 }\) ale nie wiem co dalej i czy to dobry kierunek.

Pozdrawiam,

Michał

[Tmkk]

Kierunek dobry, ale to trochę za mocne oszacowanie. Jeśli każdy wyraz przeszacujesz przez \(\displaystyle{ 1}\), to w sumie \(\displaystyle{ f_n \le n}\) no i słabo.

Pewnie ktoś zaproponuje coś lepszego, ale spróbuj pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n\ge 7}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{n}{2^{n-1}} \le \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}}\). Wtedy pierwsze sześć wyrazów zostawiasz tak, jak są, a resztę szacujesz właśnie w takie sposób, co zwija się w sumę szeregu geometrycznego. Stąd już powinno być łatwo.


Inną opcją jest po prostu policzenie (zwinięcie do zwartej postaci) tej sumy i wtedy ładniej przez coś przeszacować.

Można też oszacować z góry przez taką nieskończoną sumę - jeśli miałeś szeregi i umiesz pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n-1}}}\) jest zbieżny, no to koniec.

[mikesz1738]

Dziękuję za cenne wskazówki.