Twierdzenie o trzech ciągach - dwa problematyczne przykłady

[kieubass]

Mam problem z dwoma następującymi przykładami, muszę zastosować twierdzenie o trzech ciągach, poproszę jedynie o oszacowania górne i dolne, z resztą sobie poradzę, po prostu nie mogę wpaść na pomysł

a) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\left[ \sqrt{2} n\right] }{n} = \sqrt{2} }\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \left( \frac{2}{ \sqrt{4^n + 2} } + \frac{2^2}{ \sqrt{4^n + 2^2} } + \ldots + \frac{2^n}{ \sqrt{4^n + 2^n} }\right) = 2 }\)

[Premislav]

a) Tutaj wystarczy zastosować nierówność \(\displaystyle{ x-1<\left[x\right]\le x}\)
dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}n}\) (bo, jak rozumiem, chodzi o część całkowitą).

b) Wskazówka: oszacuj z dołu zastępując wszystkie mianowniki przez największy (czyli \(\displaystyle{ \sqrt{4^{n}+2^{n}}}\)) i z góry zastępując wszystkie mianowniki przez najmniejszy (czyli…). Dalej wystarczy zastosować wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.