Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: kt26420 »

Sprawdzić zbieżność ciągu a_n zadanego rekurencyjnie.
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_{n+1}& =2- {3\over 4a_n} \text{ dla } n\ge 1 \\
a_1& =\sqrt{7}
\end{cases};}\)

Zbadałam, że to jest ciąg malejący, ale nie wiem jak pokazać/zbadać, czy jest ograniczony z dołu.
Bardzo prosze o pomoc)
Ostatnio zmieniony 20 lut 2021, o 11:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w tytule tematu. Zły dział.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{3}{2} }\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2- \frac{3}{4x}-x }\) dla \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2} }\) jest niedodatnia. Więc ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Powołaj się na twierdzenie o zbieżności monotonicznego ciągu ograniczonego. Można nawet policzyć granicę przy okazji pokazując, że szacowanie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest optymalne. W sensie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to granica.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: kt26420 »

Janusz Tracz pisze: 20 lut 2021, o 12:15 \(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{3}{2} }\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2- \frac{3}{4x}-x }\) dla \(\displaystyle{ x \ge \frac{3}{2} }\) jest niedodatnia. Więc ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Powołaj się na twierdzenie o zbieżności monotonicznego ciągu ograniczonego. Można nawet policzyć granicę przy okazji pokazując, że szacowanie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) jest optymalne. W sensie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) to granica.
Nie rozumiem, skąd się wzieła liczba \(\displaystyle{ \frac32}\), czyli jak zrozumieć że ten wyraz \(\displaystyle{ \ge\frac32}\) patrząc na niego ? /jak to udowodnić już wiem/
Ostatnio zmieniony 20 lut 2021, o 12:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: Janusz Tracz »

Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: kt26420 »

Janusz Tracz pisze: 20 lut 2021, o 13:58 Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
ok,dzięki)

Dodano po 39 minutach 55 sekundach:
Janusz Tracz pisze: 20 lut 2021, o 13:58 Oszacowanie \(\displaystyle{ 3/2}\) zgadłem wypisując kilka pierwszych wyrazów i badając ewentualnych kandydatów na granicę.
Czy może być takie udowodnienie?
\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{7}>\sqrt{4} = 2>= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n\geq \frac{3}{2} \rightarrow a_{n+1} \geq \frac{3}{2}?}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2-\frac{3}{4a_n}}\)
\(\displaystyle{ 4a_n \geq \frac{12}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a_n>\frac{9}{8} }\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{3}{4}a_n<\frac{7}{8}<\frac{8}{8}<2 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}}\) na pewno\(\displaystyle{ < 2 }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: a4karo »

Co ci daje ograniczeni z góry? MAsz szacować z dołu

A poza tym masz szacować \(\displaystyle{ \frac{3}{4a_n}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a_n}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdzić zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie.

Post autor: Janusz Tracz »

kt26420 pisze: 20 lut 2021, o 14:40 Czy może być takie udowodnienie?
\(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{7}>\sqrt{4} = 2>= \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n\geq \frac{3}{2} \rightarrow a_{n+1} \geq \frac{3}{2}?}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2-\frac{3}{4a_n}}\)
\(\displaystyle{ 4a_n \geq \frac{12}{2}}\)
\(\displaystyle{ -\frac{3}{4}a_n>\frac{9}{8} }\)
\(\displaystyle{ 2-\frac{3}{4}a_n<\frac{7}{8}<\frac{8}{8}<2 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}}\) na pewno\(\displaystyle{ < 2 }\)
\(\displaystyle{ \left( 1\right) }\) To jest ściana znaczków bez słowa komentarza.

\(\displaystyle{ (2)}\) Dowód powinien być po pierwsze przekonywający dla Ciebie. Zadaj sama sobie pytanie czy to co napisałaś Cię przekonuje. I to jest uwaga odnośnie jakichkolwiek dowodów. Potem dopiero postaraj się przekonać innych.

\(\displaystyle{ (3)}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) nie jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 2}\) co chyba sugerujesz. Ograniczenie górne to \(\displaystyle{ \sqrt{7} }\). Tak czy inaczej ograniczenie z góry jest mało istotne w tym momencie.

\(\displaystyle{ (4)}\) Jeśli to ma być dowód przy użyciu indukcji to wypada to napisać (najlepiej na końcu powołać się na ZIM).
ODPOWIEDZ