Granica

[kt26420]

Próbowałam zrozumieć zadanie, które robiliśmy na ćwiczeniach, ale nie jestem pewna że wszystko poprawnie zapisałam do zeszytu, i nie miałam go rozwiązanego do końca, więc próbowałam to zrobić samodzielnie. Ale mam kilka pytań, i byłabym wdzięczna, gdyby ktoś pomógł)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} n\cdot \ln \left( \frac {n^2+n+1}{ n^2-n+1} \right) = \lim_{n\to \infty} \ln \left( \frac{n^2+n+1}{ n^2-n+1} \right)^n = \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right)^n =}\) / Nie rozumiem dlaczego można dalej tak to napisać : \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n = }\)(czyli, jak robimy to przejście z \(\displaystyle{ n^2-n+1}\) do \(\displaystyle{ n-1}\)?)i dalej,czy poprawnie wychodzi, że to będzie: = \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left[\left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^{n-1}\right]^{\frac{n}{n-1}}}\)(jeszcze pytańko, dlaczego nie liczymy tu 2?, czyli czemu to nie będzie \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} }\) potęga?) = \(\displaystyle{ \ln e^{1} = \ln e}\) , czy tak wychodzi?

[Tmkk]

Nie rozumiem dlaczego można dalej tak to napisać : \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n = }\)

Jeśli kolejne przejścia polegają na przekształcaniu wyrażenia, z którego granicę liczysz, to nie można tak zrobić. W granicy rzeczywiście jest to samo, bo ta jedynka w mianowniku niewiele zdziała i jak się ją pominie, to wychodzi własnie \(\displaystyle{ \frac{2n}{n^2-n+1}\sim \frac{2n}{n^2-n} = \frac{2}{n-1}}\), ale nie polecam tak robić.

jeszcze pytańko, dlaczego nie liczymy tu \(\displaystyle{ 2}\)?, czyli czemu to nie będzie \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2}}\) potęga?

powinno być własnie tak, jak mówisz i ostatecznie wyjdzie \(\displaystyle{ \ln{e^2} = 2 }\).

[pkrwczn]

(...)
(...)\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right)^n =}\) / Nie rozumiem dlaczego można dalej tak to napisać : \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n = }\)(czyli, jak robimy to przejście z \(\displaystyle{ n^2-n+1}\) do \(\displaystyle{ n-1}\)?)
(...)

Nie rozumiem dlaczego można dalej tak to napisać : \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n = }\)

Jeśli kolejne przejścia polegają na przekształcaniu wyrażenia, z którego granicę liczysz, to nie można tak zrobić. W granicy rzeczywiście jest to samo, bo ta jedynka w mianowniku niewiele zdziała i jak się ją pominie, to wychodzi własnie \(\displaystyle{ \frac{2n}{n^2-n+1}\sim \frac{2n}{n^2-n} = \frac{2}{n-1}}\), ale nie polecam tak robić.
(...)

Tutaj się dzieje coś innego, mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right)^n =\lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1+ \frac{1}{n} } \right)^n }\)

Czyli licznik i mianownik ułamka dzielony jest przez \(\displaystyle{ n}\) i jedynka znika w granicy a nie jako przybliżenie. Mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n}\)

Nie wiem czy tak można, czy nie. Granice niestety bardzo często wychodzą poprawnie nawej jak się porobi błędy.

Najłatwiej jest zrobić to tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right)^n=\lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right) ^{ \frac{n^2-n+1}{2n} \frac{2n}{n^2-n+1}n}=\lim_{n\to \infty} \ln \left[\left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right) ^{ \frac{n^2-n+1}{2n}}\right]^{ \frac{2n^2}{n^2-n+1}}= }\)

Zawartość kwadratowego nawiasu dąży do liczby Nepera \(\displaystyle{ e}\). Wykładnik za zewnątrz dąży do \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ =\ln\left( e^2\right) =2}\).

[Tmkk]

Liczenie granicy po kawałku nie jest najlepszym pomysłem...

[pkrwczn]

No właśnie też zaczynam to kwestionować.

Dodano po 10 minutach 41 sekundach:
Nie, chyba żle mówisz. Można wsadzić operator \(\displaystyle{ \lim}\) w funkcję, kiedy mamy funkcję ciągłą. Więc niech \(\displaystyle{ n \in \RR}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } f(g(x))=f( \lim_{x \to \infty } g(x))}\).

Albo

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \ln \left( 1 + \frac{2}{n-1} \right)^n = \ln \lim_{n\to \infty}\left[\lim_{n\to \infty}\left( 1 + \frac{2n}{n^2-n+1} \right) ^{ \frac{n^2-n+1}{2n}}\right]^{ \frac{2n^2}{n^2-n+1}}}\).

Czy to ja źle mówię?

[Tmkk]

Tak, pod logarytm możesz wsadzić granicę i tak się tu robi pod koniec. Ale jak zaargumentujesz przejście, o którym pisałeś wcześniej:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}{n-1+\frac{1}{n}}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}{n-1+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}}\right)^{n} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n} }\)

[pkrwczn]

Nie, mi chodziło o to, że takie było podejście w pierwszym poście. Dlatego napisałem "Nie wiem czy tak można, czy nie." Czyli to była tylko analiza/interpretacja.

[Tmkk]

A ok, rozumiem.

W zasadzie, to też o to mi w zasadzie chodziło w pierwszym moim poście (przez ten znaczek \(\displaystyle{ \sim}\) miałem na myśli zachowanie w granicy, nie przybliżenie). To jeszcze raz powiem, że nie jest to poprawne przekształcenie. Co nie zmienia faktu, ze daje ten sam wynik, jak masz wprawę, to właściwie od razu możesz zauważyć, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2n}{n^2-n+1}}\) w granicy zachowuje się jak \(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\) i wyjdzie na to samo.

Ale takie upraszczania mogą prowadzić do błędów i z tym trzeba ostrożnie, więc polecam robić dokładnie.