Granica ciągu

[kt26420]

Próbowałam robić to zadanie :
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to\infty } \left(\frac{2n+3}{3n+4} \right)^n }\)
Wychodzi u mnie \(\displaystyle{ e^{-1}}\), ale musi być 0.
Byłabym wdzięczna za pomoc)

[Jan Kraszewski]

Pokaż rachunki.

JK

[kt26420]

Pokaż rachunki.

JK

\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( \frac {2n+3}{ 3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{3n+4-n-1}{ 3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{n+1}{3n+4} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left( 1 - \frac{1}{\frac{3n+4}{n+1}} \right)^n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left[\left( 1 - \frac{1}{\frac{3n+4}{n+1}} \right)^{\frac{3n+4}{n+1}}\right]^{{\frac{n+1}{3n+4}} \cdot n} = e^{-1} }\)

[Premislav]

Ostatnie przejście jest całkowicie błędne. To prawda, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=e^{-1}}\), ale z tego nie wynika, że
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \red{\text{cokolwiek sobie wymyślisz}}}(1-x)^{\frac{1}{x}}=e^{-1}}\).
Tak się składa, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{3n+4}=\frac{1}{3}}\)

Co do rozwiązania zadania, wystarczy zauważyć, że szereg o takich wyrazach jest zbieżny na mocy kryterium Cauchy'ego, więc spełnia warunek konieczny zbieżności, tj. \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(\frac{2n+3}{3n+4}\right)^{n}=0}\). A jak nie znasz szeregów, to wystarczy znaleźć takie \(\displaystyle{ q\in(0,1)}\), że
\(\displaystyle{ \frac{2n+3}{3n+4}\le q}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) (zresztą takich \(\displaystyle{ q}\) jest nieskończenie wiele, oczywiście), i masz szacowanie przez wyrazy ciągu geometrycznego w oczywisty sposób zbieżnego do zera.