Granice

[kt26420]

(a)\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n+n^2}}\)
(b) \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} n\cdot \left( \sqrt[3]{n^3+n} - n\right)}\).

Bardzo proszę o pomoc!

[Tmkk]

Czy podjęłaś jakieś próby samodzielnego rozwiązania tych zadań? To są typowe przykłady na użycie twierdzenia o trzech ciągach oraz 'mnożenia przez sprzężenie' odpowiednio.

[kt26420]

Dodano po 17 sekundach:

Czy podjęłaś jakieś próby samodzielnego rozwiązania tych zadań? To są typowe przykłady na użycie twierdzenia o trzech ciągach oraz 'mnożenia przez sprzężenie' odpowiednio.

No tak, probowałam, w a) nie wiem z czym porównywać, a w b) wyszło mi 1/3, ale nie wiem, czy jest to poprawna odpowiedź?

[Tmkk]

b) Nie wiem czy obliczenia masz poprawne, ale tak, wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

a) Intuicja w tego typu zadaniach jest taka, że o granicy decyduje składnik, który najszybciej ucieka do nieskończoności. Tutaj tym składnikiem jest \(\displaystyle{ 3^n}\), a jako że wszystko obkładamy pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia, wynikiem będzie \(\displaystyle{ 3}\). Teraz kwestia tego, aby to uzasadnić i można na przykład użyć trzech ciągów.

Przydać się mogą następujące fakty - dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\) (tutaj to i już od \(\displaystyle{ n=2}\)) zachodzi: \(\displaystyle{ n^2 \le 3^n}\) oraz \(\displaystyle{ 2^n \le \frac{1}{2}3^n}\). Spróbuj tego użyć.

[kt26420]

Dziękuję bardzo! W b) miałam coś takiego : \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac {1}{3_\sqrt{n^4+2n^2}+3_\sqrt{n^2}+1} }\)

Dodano po 25 minutach 57 sekundach:
Re: Tmkk
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n+n^2} \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n+3^n+n^2}\leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{2\cdot 3^n}\leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{2} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 }\);
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n+n^2} \geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n}\geq\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-\frac{1}{2}\cdot 3^n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2}\cdot 3^n} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 }\)
Czy poprawnie to robię?

[Tmkk]

b) Mi wychodzi trochę inaczej:

\(\displaystyle{ \frac{n^2}{\sqrt[3]{(n^3+n)^2}+n\sqrt[3]{n^3+n} + n^2}}\),

jak się podzieli licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\), to wychodzi coś podobnego, ale jednak nie do końca. Sprawdź jeszcze raz.

a) Pierwsze szacowanie, pierwsza nierówność: ok, mogłaś też po prostu przeszacować \(\displaystyle{ -2^n \le 0}\), ale \(\displaystyle{ -2^n \le 3^n}\) też jest w porządku.
Pierwsze szacowanie, druga nierówność: tu oszacowałaś \(\displaystyle{ n^2 \le 0}\), co jest nieprawdą, to popraw.
Pierwsze szacowanie, trzecia nierówność: tu nawet jest równość, ale to bez znaczenia.

Drugie szacowanie, bardzo dobrze (tam pod koniec, po pierwszej równości, pojawiło się jakieś \(\displaystyle{ \cdot 3}\), ale podejrzewam, że to literówka.

[kt26420]

b) Mi wychodzi trochę inaczej:

\(\displaystyle{ \frac{n^2}{\sqrt[3]{(n^3+n)^2}+n\sqrt[3]{n^3+n} + n^2}}\),

jak się podzieli licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\), to wychodzi coś podobnego, ale jednak nie do końca. Sprawdź jeszcze raz.

a) Pierwsze szacowanie, pierwsza nierówność: ok, mogłaś też po prostu przeszacować \(\displaystyle{ -2^n \le 0}\), ale \(\displaystyle{ -2^n \le 3^n}\) też jest w porządku.
Pierwsze szacowanie, druga nierówność: tu oszacowałaś \(\displaystyle{ n^2 \le 0}\), co jest nieprawdą, to popraw.
Pierwsze szacowanie, trzecia nierówność: tu nawet jest równość, ale to bez znaczenia.

Drugie szacowanie, bardzo dobrze (tam pod koniec, po pierwszej równości, pojawiło się jakieś \(\displaystyle{ \cdot 3}\), ale podejrzewam, że to literówka.

Przepraszam, po prostu niepoprawnie przepisałam z zeszytu, sprobuję ponownie napisać:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n+n^2} \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{3^n-2^n+3^n }\leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{2\cdot 3^n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{2} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3 }\)

[Tmkk]

Tak, teraz jest super : )

[kt26420]

b) Mi wychodzi trochę inaczej:

\(\displaystyle{ \frac{n^2}{\sqrt[3]{(n^3+n)^2}+n\sqrt[3]{n^3+n} + n^2}}\),

jak się podzieli licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n^2}\), to wychodzi coś podobnego, ale jednak nie do końca. Sprawdź jeszcze raz.

a) Pierwsze szacowanie, pierwsza nierówność: ok, mogłaś też po prostu przeszacować \(\displaystyle{ -2^n \le 0}\), ale \(\displaystyle{ -2^n \le 3^n}\) też jest w porządku.
Pierwsze szacowanie, druga nierówność: tu oszacowałaś \(\displaystyle{ n^2 \le 0}\), co jest nieprawdą, to popraw.
Pierwsze szacowanie, trzecia nierówność: tu nawet jest równość, ale to bez znaczenia.

Drugie szacowanie, bardzo dobrze (tam pod koniec, po pierwszej równości, pojawiło się jakieś \(\displaystyle{ \cdot 3}\), ale podejrzewam, że to literówka.

Też otrzymałam w b takie wyrażenie, ale potem coś się mi poszło nie dobrze
Wyszło mi jak zrobiłam ponownie coś takiego : \(\displaystyle{ \frac{1} { \sqrt[3]{1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^4}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}+ 1 } }\)

[Tmkk]

O właśnie, teraz już wszystko się zgadza.

[kt26420]

ok dziękuję bardzo za pomoc!!!