Ciąg z logarytmem i granica ciągu

[mahor]

Zadanie dość kompleksowe, więc nie wiem czy to dobry dział

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\),o wyrazach dodatnich, w którym
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_2 x_1 =−2 \\ \log _{2} x _{n} −\log _{2} x _{n−1} =-2 & \text{dla } n \in \NN_+ \setminus \left\{ 1 \right\} \end{cases}}\)

Wykaż, że
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } (x _{1} + x _{2} + ... + x _{n} ) = \frac{1}{3} }\)

Stworzyłem z pierwszego układu ciąg \(\displaystyle{ ( 2 ^{ - \frac{8}{4} } , 2 ^{ - \frac{7}{4} } , ...)}\)
Wyznaczyłem \(\displaystyle{ q = 2 ^{ \frac{1}{4} } }\)
Zauważyłem że limes jest sumą szeregu, ale wynik u mnie to \(\displaystyle{ S = \frac{1}{4(1-2 ^{ \frac{1}{4} }) }}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ x_1= \frac{1}{4}\\\
...\\
x_n=( \frac{1}{4} )^n \\
\lim_{ n\to \infty } \sum_{i=1}^{n}x_i= \frac{\frac{1}{4} }{1-\frac{1}{4} }=\frac{1}{3} }\)

[mahor]

Super, widzę już u siebie błąd. Podstawiłem do wzoru \(\displaystyle{ x _{1}}\) zamiast \(\displaystyle{ \log _{2} x _{1}}\) dlatego miałem zły iloczyn