twierdzenie o trzech ciągach

[hwite]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n^3+2n^2+3}= b_{n} }\)
\(\displaystyle{ 1 =\sqrt[n]{n^3}=a _{n} \le b_{n} \le c_{n} = \sqrt[n]{3n^3}= \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{n^3} =1 \Rightarrow b_{n}=1 }\)

Proszę o sprawdzenie, bo nie wiem czy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}=1}\),
no i ogólnie w zadaniach o trzech ciągach wiecznie nie mam pewności czy dobrze dobrałem podciągi.
Nie mam też pewności czy mogę tak pisać znak równości i większe/równe obok siebie.

[Jan Kraszewski]

Proszę o sprawdzenie, bo nie wiem czy \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}=1}\),

Zdecydowanie nie: \(\displaystyle{ \sqrt2\ne 1, \sqrt[3]3\ne 1...}\)

JK

[hwite]

no tak, źle napisałem, chodziło mi o \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n}=1 }\) i już wiem że to jest prawda

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ b_{n} \le c_{n} = \sqrt[n]{3n^3}}\)

To oszacowanie w ogólności nie jest prawdziwe, musisz więc albo dodać jakiś komentarz, albo oszacować lepiej: \(\displaystyle{ b_{n} \le c_{n} = \sqrt[n]{6n^3}}\).

JK

[a4karo]

Pierwsza linijka też jest do luftu: prawa strona zależy od `n` a lewa nie.

[hwite]

Nie wiem jaki bym mógł dodać komentarz do \(\displaystyle{ b_{n} \le c_{n} =\sqrt[n]{n^3+n^3+n^3}= \sqrt[n]{3n^3} }\)
nie wiem też dlaczego to jest źle i dlaczego \(\displaystyle{ \sqrt[n]{6n^3} }\) jest lepsze. Mógłby mi Pan to wytłumaczyć?
Mam naprawdę problem z tym szacowaniem, zgaduje zamiast logicznie wybierać, bo nie wiem w jaki mam sposób myśleć o tym.

[Jan Kraszewski]

Nie wiem jaki bym mógł dodać komentarz do \(\displaystyle{ b_{n} \le c_{n} =\sqrt[n]{n^3+n^3+n^3}= \sqrt[n]{3n^3} }\)

To oszacowanie jest nieprawdziwe. Np. \(\displaystyle{ b_1=6>3=c_1}\).

Poza tym nagminnie zjadasz granice.

JK

[hwite]

O rzeczywiście, już rozumiem swój błąd.
W książce Gewert, Skoczylas widziałem podobny zapis, tyle że pod spodem jeszcze były policzone granice podciągów...
Już wiem co mogę poprawić.