Wyznacz granicę ciągu

[albanczyk123456]

Obliczyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } ( \sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5})^{n} }\)
Prosiłbym o jakąś wskazówkę w którą stronę pójść z tą granicą.

[szw1710]

Wynik jest bardzo ciekawy. Eksperymenty numeryczne wskazują na \(1.2\), tak samo liczy Wolfram Alpha. Więc musi być jakiś ładny trick. Na początek dość łatwo zauważyć, że \(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}\ge 0\). Jeśli wie się, co to funkcja wypukła (a tutaj wklęsła) w sensie Wrighta, to wniosek jest natychmiastowy i wynika z tzw. nierówności Lima. No ale dalej trzeba pokombinować.

[a4karo]

Niech `a_1,...,a_{n+1}, b_1,...,b_n>0` I `t\to 0^+`. Wtedy

\(\displaystyle{ \begin{aligned}&\left(a_1^t+...+a_{n+1}^t-b_1^t-...-b_n^t\right)^{1/t}=\\[2ex]
&=\left(1+\frac{1 }{\dfrac{1 }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}(a_i^t-1)-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(b_i^t-1)} }\right)^{1/t}\\[2ex]
&=\left(1+\dfrac{1 }{\dfrac{1 }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}(a_i^t-1)-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(b_i^t-1)} }\right)^{ \dfrac{1 }{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}(a_i^t-1)-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(b_i^t-1)}\cdot \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}(a_i^t-1)-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(b_i^t-1)}{t}} \\[4ex]
&\longrightarrow \exp\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\ln a_i-\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\ln b_i\right) =\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{n+1}a_i} {\displaystyle\prod_{i=1}^{n}b_i}
\end{aligned}
}\)

[janusz47]

Super sprowadzenie do granicy z exp.

Dodano po 53 minutach 55 sekundach:
Brakuje mi potęg \(\displaystyle{ t }\) w nawiasie z potęgą \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\). Mógłbyś uzasadnić to przejście?

Dodano po 32 minutach 30 sekundach:
Teraz wszystko w porządku.

[szw1710]

Wynik jest bardzo ciekawy. Eksperymenty numeryczne wskazują na `1.2`, tak samo liczy Wolfram Alpha.

Wolfram Alpha deklaruje, że posługuje się szeregami Laurenta.

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%282%5E%281%2Fn%29%2B3%5E%281%2Fn%29-5%5E%281%2Fn%29%29%5En+as+n+tends+to+infinity

Na smartfonie mam wykupioną płatną wersję z możliwością step by step solution, ale to za słabe na to zadanie i nie pojawia się.

[Janusz Tracz]

Dla ustalonych \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) funkcja \(\displaystyle{ x\mapsto a^x+b^x-c^x}\) rozwija się wokół zera w następujący sposób*:

\(\displaystyle{ a^x+b^x-c^x=1+x (\ln (a)+\ln (b)-\ln (c))+\frac{1}{2} x^2 \left(\ln ^2(a)+\ln ^2(b)-\ln ^2(c)\right)+\frac{1}{6} x^3 \left(\ln ^3(a)+\ln ^3(b)-\ln ^3(c)\right)+O\left(x^4\right)}\)

choć tu tak naprawdę wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ a^x+b^x-c^x=1+x (\ln (a)+\ln (b)-\ln (c))+ O\left(x^2\right)}\)

stąd mamy to co trzeba**:

\(\displaystyle{ \left( a^x+b^x-c^x\right)^{ \frac{1}{x} } =\left( 1+x (\ln (a)+\ln (b)-\ln (c))+ O\left(x^2\right)\right)^{ \frac{1}{x} } \:\xrightarrow[]{x\to 0^{+}}\: e^{\ln (a)+\ln (b)-\ln (c)} = \frac{ab}{c}\Bigg|_{\left( a,b,c\right)=\left( 2,3,5\right) }= \frac{6}{5} }\)


* To rozwinięcie nietrudno zauważyć. To są tak naprawdę trzy zmieszane rozwinięcia funkcji \(\displaystyle{ \xi^x=e^{x\ln \xi}}\).

** A nawet widać stąd jakie jest uogólnienie tego na przykład podany przez a4karo.

[szw1710]

Tak czy inaczej, zadanie jest interesujące.

[albanczyk123456]

Dziękuję bardzo wszystkim za pomoc .

[a4karo]

Koniecznie trzeba dodać założenie, które pominąłem :
`\sum a_i^t-\sum b_i^t` musi być dodatnie dla małych `t`.

W oryginalnym zadaniu tak jest - wynika to z miłej własności funkcji wklęsłych
Ciągła funkcja `f` jest wklęsła wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego `h>0 ` funkcja ` g(x) =f(x+h) - f(x) ` jest malejąca.

Dla `f(x) =x^{1 /n} ` bierzemy `h=2`, a nierówność to `g(3)<g(0)`.

[szw1710]

Ty jesteś fanem monotoniczności ilorazów, zaś ja patrzę na to po Wrightowsku, czyli w sensie Schura. Może skrobnę jakiś tekścik w kompendium. W sumie oba spojrzenia są jednym i tym samym.

Jeśli \(f\) jest wypukła oraz \(a+b=c+d\), to \(f(a)+f(b)\leqslant f(c)+f(d)\). To można sprawdzić powołując się na wspomnianą monotoniczność.

[janusz47]

Proszę zamiast tekstu w kompedium po wrightowsku czyli w sensie Schura obliczyć tą granicę.

[szw1710]

Proszę zamiast tekstu w kompedium po wrightowsku czyli w sensie Schura obliczyć tą granicę.

Zanim odpowiem ostrzej, chciałbym wiedzieć, co Pan chce przez to powiedzieć.

[janusz47]

Chciałbym się dowiedzieć jak Pan liczysz tą granicę po wrightowsku w sensie Schura. Bo na razie robisz Pan popis znajomością pojęć, które chciałbym (chcielibyśmy) poznać i dowiedzieć się jak je wykorzystać w obliczeniu tej granicy. Do tej pory podał Pan wartość granicy \(\displaystyle{ 1,2 }\) z Wolfram Alpha.

[szw1710]

Chciałbym się dowiedzieć jak Pan liczysz tą granicę po wrightowsku w sensie Schura.

Ten sposób zwracania się do mnie jest bardzo kolokwialny i nie przystoi w oficjalnej rozmowie. Jak Pan liczy, nie liczysz. Nadto w oficjalnej wypowiedzi używamy formy tę granicę. Zwrot tą granicę dopuszczalny jest w rozmowie, nie w tekście pisanym.

Dyskusję rozpocząłem następującym stwierdzeniem.

Wynik jest bardzo ciekawy. Eksperymenty numeryczne wskazują na \(1.2\), tak samo liczy Wolfram Alpha. Więc musi być jakiś ładny trick. Na początek dość łatwo zauważyć, że \(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}\ge 0\). Jeśli wie się, co to funkcja wypukła (a tutaj wklęsła) w sensie Wrighta, to wniosek jest natychmiastowy i wynika z tzw. nierówności Lima. No ale dalej trzeba pokombinować.

Jak zauważył a4karo, powinniśmy wiedzieć, że \(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}>0\) dla dostatecznie dużych \(n\). Pokażę to według nierówności \(f(a)+f(b)>f(c)+f(d)\), o ile \(f\) jest funkcją ściśle wklęsłą oraz \(c<a<b<d\) i \(a+b=c+d.\) Na mocy przyjętych założeń punkty \(a,b\) oraz \(c,d\) mają wspólną średnią arytmetyczną, więc \(a=tc+(1-t)d\) oraz \(b=(1-t)c+td\) dla pewnego \(t\in(0,1).\) Z definicji funkcji ściśle wklęsłej dochodzimy do dwóch nierówności.
\[
\begin{aligned}
f(a)&=f\bigl(tc+(1-t)d\bigr)>tf(c)+(1-t)f(d),\\[1ex]
f(b)&=f\bigl((1-t)c+td\bigr)>(1-t)f(c)+tf(d).
\end{aligned}
\]
Dodając je stronami otrzymujemy \(f(a)+f(b)>f(c)+f(d).\) Ta właśnie nierówność jest związana z wklęsłością w sensie Wrighta. Wydaje mi się dość użyteczna, a przez lata praktyki zawodowej udało mi się z nią trochę oswoić do tego stopnia, że nawet napisałem pracę naukową związaną z tą klasą funkcji.

W każdym razie dla każdego \(n\in\NN\) funkcja \(f_n(x)=\sqrt[n]{x}\) jest ściśle wklęsła w przedziale \([0,\infty)\), więc biorąc \(c=0,a=2,b=3,d=5\) otrzymujemy, że \(a+b=5=c+d\), więc
\[
\begin{aligned}
f_n(a)+f_n(b)&>f_n(c)+f_n(d),\\
f_n(2)+f_n(3)&>f_n(0)+f_n(5),\\
\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}&>\sqrt[n]{0}+\sqrt[n]{5},\\
\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}-\sqrt[n]{5}&>0.
\end{aligned}
\]To jest coś, co określiłem mianem po Wrightowsku, czyli w sensie Schura. Może warto spopularyzować to pojęcie.

Podsumowując, od tej dodatniości zaczęła się dyskusja. Dalsze pomysły miał a4karo. Ja też chciałem to jakoś powiązać z liczbą \(e\), ale wziąłem do obliczeń tylko dwa składniki sumy występującej w granicy, a trzeba było wziąć wszystkie trzy. A ponieważ zadanie wydało mi się ciekawe, a sam byłem wczoraj wieczorem mocno zmęczony, pokazałem je koledze a4karo, który szybko je rozpracował.

[a4karo]

@janusz47
wykazałeś się tutaj nie tylko niezrozumieniem pojęć, ale i daleko idąca bezczelnością. Trudno, wszyscy wiemy, że tak masz i nic się na to nie poradzi. ale spróbuj uważniej dobierać słowa. NA drugi raz, jak nie rozumiesz, to grzecznie poproś.

Nikt tu nie liczy granicy "po wrightowsku" ani w "sensie Schura". To zostało użyte tylko dla wykazania, że w oryginalnym zadaniu wyrażenie ma sens.

Trzy najpopularniejsze definicje wypukłości są takie:
A) wypukłość w sensie Jensena:
`f` jest wypukła w sensie Jensena, jeżeli dla dowolnych `x,y` z dziedziny zachodzi \(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq \frac{f(x)+f(y)}{2}.}\)
B) wypukłość w sensie Wrighta
`f` jest wypukła w sensie Wrighta jeżeli dla dowolnego `h>0` funkcja `g(x)=f(x+h)-f(x)` jest rosnąca

ten warunek jest równoważny takiemu

`f` jest wypukła w sensie Wrighta jeżeli dla dowolnego `a<c<d<b` takich, że `a+b=c+d` zachodzi `f(c)+f(d)\le f(a)+f(b)` (ten warunek jest zwany warunkiem Schura).

C) wypukłość w zwykłym sensie
`f` jest wypukła jeżeli dla dowolnych `x,y` z dziedziny i `0\leq t\leq 1` zachodzi `f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)`

Ten warunek jest równoważny takiemu: funkcja `g(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}` jest rosnąca względem każdej zmiennej

A) to wypukłość, o której uczą w szkole, podając przy okazji wiele - delikatnie mówiąc - naciągniętych "faktów"
Z B) uczeń liceum pewnie nigdy się nie spotka chociaż warunek Schura ma uroczą interpretację geometryczną
Z C) może się zetknąć olimpijczyk.

Można pokazać, że `A \Rightarrow B \Rightarrow C` i każda z tych implikacji jest nieodwracalna. Z drugiej strony, dla ciągłych funkcji te trzy definicje są równoważne.

Jako zadanie domowe udowodnij te dwie implikacje oraz ich równoważność w przypadku funkcji ciągłych.


Mniej zacietrzewienia, więcej samokrytyki i Wesołego Po Świętach

Dodano po 3 minutach :
PS: żebyś się nie pogubił: szw1710 pisze o funkcjach wklęsłych, ja o wypukłych, ale mam nadzieję, że wiesz jak przerobić definicje.