\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} = \frac{x}{\arctg \: x} - \frac{2x}{ \pi }}\)
pomoże ktoś?
granica z arctg
-
jxlz
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 10 gru 2020, o 11:25
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 1 raz
granica z arctg
Ostatnio zmieniony 11 gru 2020, o 13:51 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Wystarczy jedna para klamr [latex][/latex] na całe wyrażenie matematyczne.
Powód: Poprawa wiadomości. Wystarczy jedna para klamr [latex][/latex] na całe wyrażenie matematyczne.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: granica z arctg
Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika mamy taką postać:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi x-2x\arctan x}{\pi \arctan x}}\)
Teraz korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\arctan x=\arcctg x, \ \arcctg x=\arctg\left(\frac{1}{x}\right), \ x>0}\) i mamy do obliczenia
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{2x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{\pi \arctan x}}\)
Licznik dąży do \(\displaystyle{ 2}\), co łatwo widać po przepisaniu w postaci
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}}\), podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\tg \eta}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ \eta}\) (tak, by zachodziła tożsamość \(\displaystyle{ \arctg(\tg \eta)=\eta}\)), a mianownik do \(\displaystyle{ \frac{\pi^{2}}{2}}\), więc odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{4}{\pi^{2}}}\).
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi x-2x\arctan x}{\pi \arctan x}}\)
Teraz korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}-\arctan x=\arcctg x, \ \arcctg x=\arctg\left(\frac{1}{x}\right), \ x>0}\) i mamy do obliczenia
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\frac{2x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{\pi \arctan x}}\)
Licznik dąży do \(\displaystyle{ 2}\), co łatwo widać po przepisaniu w postaci
\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}}\), podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\tg \eta}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ \eta}\) (tak, by zachodziła tożsamość \(\displaystyle{ \arctg(\tg \eta)=\eta}\)), a mianownik do \(\displaystyle{ \frac{\pi^{2}}{2}}\), więc odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{4}{\pi^{2}}}\).