Punkty skupienia ciągu

[anna_123]

Znajdź punkty skupienia podanego ciągu \(\displaystyle{ a_n = \sin \frac{n\pi }{6}\left( \frac{3n+1}{3n-1}\right) ^{n^{-1^{n}} }}\).

[Janusz Tracz]

Rozważ \(\displaystyle{ 12}\) podciągów liczb naturalnych \(\displaystyle{ n_k^{\left( r\right) }=12k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ r\in \left\{ 0,1,2,3,...,11\right\} }\). Na każdym z tych podciągów zachodzi:

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{n_{k}^{\left( r\right) } \pi}{6} \right)= \sin \left( \frac{r \pi }{6} \right) }\)

dla każdego \(\displaystyle{ k\in \NN}\). Poza tym ciągi te wyczerpują wszystkie możliwości podziału \(\displaystyle{ \NN}\) na podciągi typu \(\displaystyle{ 12k+r}\)

[szw1710]

Ale ktoś zaszalał.

Rozważamy podciągi wyrazów o numerach parzystych oraz o numerach nieparzystych.

Podciąg \((a_{2n})\): wyrażenie w nawiasie zmierza do czegoś związanego z \(e\) (nie liczę szczegółowo), mamy jeszcze \(\sin\frac{n\pi}{3}.\) Będziemy mieli tu więc kilka liczb związanych z wartościami tych sinusów.

Podciąg \((a_{2n+1})\): nawias zmierza do \(1\), a sinusy - znów masz kilka liczb.

Powychodziło mi: \(0,\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{\tfrac{3}{2}},\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{\tfrac{3}{2}},\ -1,\ -\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2},\ 1.\)

[a4karo]

A czy ktoś wie czym jest ten potworek w wykładniku?

[szw1710]

Zapewne \(n\) do potęgi \((-1)^n.\) Kto daje takie zadania, ma nierówno pod dachem i bardziej chce pokazać co też on nie umie niż nauczyć studentów czegoś sensownego. Jakoś na moich studiach nikt takich potworków nie zadawał, a na ludzi wyszedłem, habilitację zrobiłem.

[a4karo]

Jak bym nie wiedział, że Pedro nie żyje, to bym podejrzewał, że to ON