Własnośc ciągu Fibonacciego

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ F_{2n} + 2(F_{2n}) ^3 = \frac{(F_{2n+2})^3 + (F_{2n-2})^3 }{9} }\) dla \(\displaystyle{ n>1}\)

[kerajs]

Może tak, zamiast narzucającej się indukcji:
\(\displaystyle{ 9F_{2n}(1 + 2F_{2n}^2) = F_{2n+2}^3 + F_{2n-2}^3 }\)
\(\displaystyle{
P= F_{2n+2}^3 + F_{2n-2}^3=(F_{2n+2}+ F_{2n-2})(F_{2n+2}^2 -F_{2n+2} F_{2n-2}+ F_{2n-2}^2)=\\
=( (F_{2n}+F_{2n+1})+(F_{2n}-F_{2n-1}) )( (F_{2n}+F_{2n+1})^2 - (F_{2n}+F_{2n+1})(F_{2n}-F_{2n-1})+(F_{2n}-F_{2n-1})^2 )= \\
=3F_{2n}( (2F_{2n}+F_{2n-1})^2 - (2F_{2n}+F_{2n-1})(F_{2n}-F_{2n-1})+(F_{2n}-F_{2n-1})^2 )=\\
=3F_{2n}(3F_{2n}^2+3F_{2n}F_{2n-1}+3F_{2n-1}^2)=9F_{2n}(F_{2n}+F_{2n-1}(F_{2n}+F_{2n}-1))=\\
=9F_{2n}(F_{2n}^2+F_{2n-1}F_{2n+1})=9F_{2n}(F_{2n}^2+F_{2n}^2+(-1)^{2n})=P


}\)

[Jan Kraszewski]

Może tak, zamiast narzucającej się indukcji:
\(\displaystyle{ P=...=P}\)

Hmmm...

JK