istnienie granicy ciągu

[Marta_0000]

zbadaj istnienie granicy ciągu w zależności od parametru b (b jest w zbiorze rzeczywistych)
\(\displaystyle{ a_{n}= (b^{2}-4)^{n}}\)

nie mam pojęcia jak w ogóle podejść do tego zadania, czy najpierw wyznaczyć granicę tego ciągu a potem zastanawiać się nad parametrem?

[Premislav]

Oprócz przypadków \(\displaystyle{ b\in \left\{-2,2\right\}}\), w których to dostajesz ciąg stały o zerowych wyrazach, masz do czynienia z ciągiem geometrycznym.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_geometryczny#W%C5%82asno%C5%9Bci

[Dasio11]

Dlaczego "oprócz"? Ten ciąg zawsze jest geometryczny.

[Premislav]

Zależy od używanej definicji ciągu geometrycznego (miałem ochotę napisać „ciąg geometryczny nie ma definicji szczerze", ale mimo fajnego nawiązania to nie byłaby prawda). Jedna z definicji (np. ta, którą podaje angielska wiki: brzmi tak, jakby nie stosowała się do ciągów typu \(\displaystyle{ a_{0}=a, \ a_{n}=0, \ n\ge 1}\) (gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest jakiekolwiek, zerowe lub nie). Jak chcesz wyliczyć stosunek siódmego do szóstego wyrazy w ciągu złożonym z samych zer? Z drugiej strony można definiować ciąg geometryczny jako każdy ciąg o wyrazie ogólnym w formie \(\displaystyle{ a_{n}=a_{0}q^{n}}\) (czy tam \(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}q^{n-1}}\)) lub też jako ciąg, w którym dla każdego \(\displaystyle{ n\ge1}\) jest spełniona równość \(\displaystyle{ a_{n-1}a_{n+1}=a_{n}^{2}}\).
To jest rozmowa o nazwach, czyli strata czasu. Jeśli uważasz, że definicja wykluczająca taki ciąg jest nieprofesjonalna, to OK, pewnie wiesz lepiej. W każdym razie ja kończę dyskusję z tą wypowiedzią, co by się nie działo.

[Dasio11]

Przecież w artykule

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_geometryczny

jest wyjaśnione, że \(\displaystyle{ q}\) jest ilorazem tylko z nazwy: w rzeczywistości jest to taka liczba, która pomnożona przez każdy wyraz ciągu daje wyraz następny - czyli nie trzeba przez nic dzielić. Z tego samego artykułu wynika, że iloraz ciągu geometrycznego może być zerem, zresztą na ile się orientuję - jest to normą w polskiej matematyce.

A jeśli uznajesz tylko angielską Wikipedię, to powinieneś raczej powoływać się na artykuł o

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

, a nie o szeregu. Z tym, że wtedy musiałbyś wyróżnić przypadek nie zerowego ilorazu, tylko równego jeden (co moim zdaniem jest równie dziwne).

To jest rozmowa o nazwach, czyli strata czasu. Jeśli uważasz, że definicja wykluczająca taki ciąg jest nieprofesjonalna, to OK, pewnie wiesz lepiej.

Ja to widzę tak: skoro rozwiązanie zadania wygląda jednakowo dla wszystkich ilorazów w przedziale \(\displaystyle{ (-1, 1)}\), to prędzej stratą czasu nazwałbym sztuczne wyróżnianie przypadku z zerowym ilorazem. I to wyłącznie z tego powodu, że angielska Wikipedia zabrania nazywać ten przypadek ciągiem geometrycznym.