Monotoniczność i ograniczoność ciągu

[qwerty355]

Proszę o sprawdzenie, czy prawidłowo wykonałem poniższe zadania:
1. Zbadać monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ a_n = n^2 -49n -50 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 -49(n+1) - 50 - n^2 + 49n + 50 = 2n - 48 }\)
\(\displaystyle{ 2n - 48 > 0 \Leftrightarrow n > 24 }\)
Ciąg jest rosnący dla \(\displaystyle{ n \ge 24 }\) oraz malejący dla \(\displaystyle{ n \le 24 }\)
Czy taki zapis jest prawidłowy? Głównie chodzi mi o to, czy powinienem uwzględniać wyraz graniczny, czy nierówności te powinny być ostre?

2. Zbadać ograniczoność ciągu \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{4^1+1} + \frac{1}{4^1+1} + \frac{1}{4^2+2} + \frac{1}{4^3+3} + ... + \frac{1}{4^n+n} }\)

Po zbadaniu różnicy \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n }\) wyszło mi, że ciąg ten jest rosnący. Zatem ograniczeniem dolnym będzie jego pierwszy wyraz \(\displaystyle{ a_1 = \frac{1}{5} }\). Zauważyłem też, że suma kolejncyh \(\displaystyle{ n}\) wyrazów nigdy nie będzie większa niż \(\displaystyle{ 1}\), więc ograniczeniem górnym mogłaby być liczba \(\displaystyle{ 1 }\).
Nie wiem, czy mogę w ten sposób to zapisać, ponieważ "domyśliłem się", jakie będzie górne ograniczenie. Czy istnieje jakiś sposób na znalezienie drugiego ograniczenia, gdy jedno mam już z monotoniczności?

[Jan Kraszewski]

Proszę o sprawdzenie, czy prawidłowo wykonałem poniższe zadania:
1. Zbadać monotoniczność ciągu \(\displaystyle{ a_n = n^2 -49n -50 }\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n = (n+1)^2 -49(n+1) - 50 - n^2 + 49n + 50 = 2n - 48 }\)
\(\displaystyle{ 2n - 48 > 0 \Leftrightarrow n > 24 }\)
Ciąg jest rosnący dla \(\displaystyle{ n \ge 24 }\) oraz malejący dla \(\displaystyle{ n \le 24 }\)
Czy taki zapis jest prawidłowy?

Jeżeli przez "rosnący" rozumiesz "ściśle rosnący" (a na to wskazuje badany warunek), to źle.

Pokazałeś, że \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n<0 \Leftrightarrow n>24,}\) co oznacza, że ciąg jest rosnący od wyrazu nr \(\displaystyle{ 25}\). Jak nietrudno zauważyć, \(\displaystyle{ a_{24}=a_{25}=-650}\), zatem ciąg jest ściśle rosnący dla \(\displaystyle{ n\ge 25}\) i ściśle malejący dla \(\displaystyle{ n\le 24}\).

Głównie chodzi mi o to, czy powinienem uwzględniać wyraz graniczny, czy nierówności te powinny być ostre?

Numerujesz liczbami naturalnymi, więc rozróżnianie nierówności ostrych i nieostrych nie bardzo ma sens, bo \(\displaystyle{ n>a \Rightarrow n\ge a+1}\), gdy \(\displaystyle{ a\in\NN.}\) Istotne jest to, gdzie ten ciąg istotnie rośnie bądź maleje.

JK

[qwerty355]

Dziękuję za wskazówki. Czy mógłby Pan również pomóc mi w 2 zadaniu?

[Kartezjusz]

Ogranicz jakimś ciągiem geometrycznym.