Granica ciągu w minus nieskończoności

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: qwerty355 »

Mam problem z obliczeniem następującej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty} (x - \sqrt{x^2-5x+1} )}\)
Zrobiłem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty} (x - \sqrt{x^2-5x+1} ) = \lim_{n\to -\infty} \frac{x^2 - x^2 + 5x - 1} {x + \sqrt{x^2-5x+1} } = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x + \sqrt{x^2(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x + \left| x \right| \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x - x \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \lim_{n\to -\infty} \frac{x (5 - \frac{1}{x})} {x (1 - \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \left[ \frac{5}{0} \right]}\)
Nie wiem, co zrobić z wyrażeniem, które otrzymałem. Czy moje obliczenia i sposób, w jaki obliczam tę granicę są poprawne?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: Premislav »

Tam powinno być wszędzie \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\) (albo \(\displaystyle{ n}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\), byle konsekwentnie).
Przekształcenia są poprawne, poza tym detalem, natomiast ma znaczenie to, z której strony mianownik dąży do zera (po skróceniu tych iksów).
Otóż mianownik jest zawsze mniejszy od zera, gdy \(\displaystyle{ x<0}\), bo wówczas od jedynki odejmujemy coś, co jest od jedynki większe. Stąd wynik to \(\displaystyle{ -\infty}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: a4karo »

Przekształcenia są poprawne, ale zupełnie niepotrzebne. Gdy `x` dąży do `-\infty`, to `x^2-5x+1\to \infty`, zatem `\sqrt{x^2-5x+1}\to infty`
Czyli `x-\sqrt{x^2-5x+1}\to -\infty`.

Tutaj niestety odruch Pawłowa zadziałał (widzę pierwiastek, to sprzężenie ...) i się skomplikowało
Ostatnio zmieniony 19 lis 2020, o 11:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
qwerty355
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 85
Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy

Re: Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: qwerty355 »

Faktycznie, źle przepisałem przykład - oczywiście zamiast \(\displaystyle{ n}\) powinno być \(\displaystyle{ x}\). Dziękuję za pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Granica ciągu w minus nieskończoności

Post autor: Jan Kraszewski »

qwerty355 pisze: 19 lis 2020, o 19:41 Faktycznie, źle przepisałem przykład - oczywiście zamiast \(\displaystyle{ n}\) powinno być \(\displaystyle{ x}\). Dziękuję za pomoc.
No to chodziło raczej o granicę funkcji, a nie ciągu.

JK
ODPOWIEDZ