Mam problem z obliczeniem następującej granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty} (x - \sqrt{x^2-5x+1} )}\)
Zrobiłem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty} (x - \sqrt{x^2-5x+1} ) = \lim_{n\to -\infty} \frac{x^2 - x^2 + 5x - 1} {x + \sqrt{x^2-5x+1} } = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x + \sqrt{x^2(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x + \left| x \right| \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \lim_{n\to -\infty} \frac{5x - 1} {x - x \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \lim_{n\to -\infty} \frac{x (5 - \frac{1}{x})} {x (1 - \sqrt{(1 - \frac{5}{x}+ \frac{1}{x^2}) } } = \left[ \frac{5}{0} \right]}\)
Nie wiem, co zrobić z wyrażeniem, które otrzymałem. Czy moje obliczenia i sposób, w jaki obliczam tę granicę są poprawne?
Granica ciągu w minus nieskończoności
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Granica ciągu w minus nieskończoności
Tam powinno być wszędzie \(\displaystyle{ x}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\) (albo \(\displaystyle{ n}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\), byle konsekwentnie).
Przekształcenia są poprawne, poza tym detalem, natomiast ma znaczenie to, z której strony mianownik dąży do zera (po skróceniu tych iksów).
Otóż mianownik jest zawsze mniejszy od zera, gdy \(\displaystyle{ x<0}\), bo wówczas od jedynki odejmujemy coś, co jest od jedynki większe. Stąd wynik to \(\displaystyle{ -\infty}\).
Przekształcenia są poprawne, poza tym detalem, natomiast ma znaczenie to, z której strony mianownik dąży do zera (po skróceniu tych iksów).
Otóż mianownik jest zawsze mniejszy od zera, gdy \(\displaystyle{ x<0}\), bo wówczas od jedynki odejmujemy coś, co jest od jedynki większe. Stąd wynik to \(\displaystyle{ -\infty}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22172
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Granica ciągu w minus nieskończoności
Przekształcenia są poprawne, ale zupełnie niepotrzebne. Gdy `x` dąży do `-\infty`, to `x^2-5x+1\to \infty`, zatem `\sqrt{x^2-5x+1}\to infty`
Czyli `x-\sqrt{x^2-5x+1}\to -\infty`.
Tutaj niestety odruch Pawłowa zadziałał (widzę pierwiastek, to sprzężenie ...) i się skomplikowało
Czyli `x-\sqrt{x^2-5x+1}\to -\infty`.
Tutaj niestety odruch Pawłowa zadziałał (widzę pierwiastek, to sprzężenie ...) i się skomplikowało
Ostatnio zmieniony 19 lis 2020, o 11:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 24 maja 2015, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
Re: Granica ciągu w minus nieskończoności
Faktycznie, źle przepisałem przykład - oczywiście zamiast \(\displaystyle{ n}\) powinno być \(\displaystyle{ x}\). Dziękuję za pomoc.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy