Granica ciągu

[aneta909811]

Należy obliczyć granicę takiego ciągu \(\displaystyle{ a _{n} =\left( 7^{ \frac{1}{n}}+ \frac{1}{n} \right)^{n} }\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ a_{n}=e^{n\ln\left(7^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)}=e^{\left(\frac{7^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}+1\right)\cdot \frac{\ln\left(7^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)}{7^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}}}\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow e^{(\ln 7+1)\cdot 1}=7e}\)

Korzystam z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ e^{x}}\) i ze znanych granic specjalnych
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, \ a>0, \\ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1}\).

Dodano po 9 minutach 12 sekundach:
W zasadzie Zienkiewicz się czepiał takich rozumowań na funkcjach analitycznych 1 (do dziś nie rozumiem, czemu), więc jak już znam wynik, to podam też inne rozwiązanie:
łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ 7^{\frac{1}{n}}>1}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\), a ponadto z nierówności Bernoulliego mamy
\(\displaystyle{ 7^{\frac{1}{n}}\le 1+\frac{6}{n}}\), a zatem
\(\displaystyle{ 7^{\frac{1}{n}}+\frac{7^{\frac{1}{n}}}{\left(1+\frac{6}{n}\right)n}\le 7^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}<7^{\frac{1}{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)
podnosimy do potęgi \(\displaystyle{ n}\) te nierówności i jest
\(\displaystyle{ 7\left(1+\frac{1}{n+6}\right)^{n}\le \left(7^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)^{n}<7\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)
i z twierdzenia o trzech ciągach już łatwo uzyskujemy, co trzeba.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \left(7^{1/n}+\frac1n\right)^n
=\left(7^{1/n}\left(1+\frac{1}{n7^{1/n}}\right)\right)^n
=7\left(\left(1+\frac{1}{n7^{1/n}}\right)^{n7^{1/n}}\right)^{1/7^{1/n}}\to 7e}\)