Prosta granica

[mkmkmkmk]

Mam może głupio proste pytanie, ale nie potrafię sobie z tym poradzić. Jak udowodnić z definicji granicy/twierdzenia o 3 ciągach, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_n}=0 }\), gdy \(\displaystyle{ a_n}\) dąży do nieskończoności

[Janusz Tracz]

Z treści wiemy, że:

\(\displaystyle{ \left( \forall M>0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( a_n>M\right) }\)

Z tego wynikają dwie rzeczy:

\(\displaystyle{ \bullet }\) Od pewnego miejsca ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest dodatni.

\(\displaystyle{ \bullet }\) Kładąc \(\displaystyle{ M= \frac{1}{\epsilon} }\) dostaniemy:

\(\displaystyle{ \left( \forall \frac{1}{\epsilon} >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( a_n> \frac{1}{\epsilon} \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \epsilon> \frac{1}{a_n} \right) }\)

W części przekształceń wykorzystuję dodatniość \(\displaystyle{ a_n}\) którą zapewni mi pierwszy podpunkt. Bez straty ogólność mogę też napisać, że:

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \epsilon> \frac{1}{a_n} > -\epsilon \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \left| \frac{1}{a_n}\right| < \epsilon \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \left|\frac{1}{a_n}-0\right| < \epsilon \right)}\)

Zatem widać, że odległość \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n} }\) od \(\displaystyle{ 0}\) jest dowolnie mała zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n}\to 0}\)

[mkmkmkmk]

\(\displaystyle{ \left( \forall \frac{1}{\epsilon} >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( a_n> \frac{1}{\epsilon} \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \epsilon> \frac{1}{a_n} \right) }\)

Nie jestem pewny tego przejścia, czy na pewno można dla

\(\displaystyle{ \forall \frac{1}{\epsilon} >0 }\)

zamienić na

\(\displaystyle{ \forall \epsilon >0 }\)

W sensie widzę, że zawierają ten sam przedział, ale trochę podejrzanie to wygląda i boję się, że ktoś się do tego przyczepi.

[Jan Kraszewski]

Z formalnego punktu widzenia nie jest to poprawne, dlatego zamiast znaczków lepiej użyć słów.

JK

[mkmkmkmk]

Sprawdziłby ktoś czy mam to formalnie dobrze?

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( a_n > A \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \frac{1}{A} \right) }\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{A}}\) przyjmuje wartości większe od 0 i zależy tylko od przyjętego A, można więc przekształcić to do równoważnej formuły:

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

Skoro \(\displaystyle{ a_n}\) dąży do nieskończoności to od pewnego miejsca zawsze będzie dodatni, można więc bez straty ogólności zapisać, że

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( -\epsilon < \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \left|\frac{1}{a_n}-0\right| < \epsilon \right) }\)

[Janusz Tracz]

Z formalnego punktu widzenia nie jest to poprawne, dlatego zamiast znaczków lepiej użyć słów.

JK

Poprosze o wyjaśnienie dlaczego formalnie nie jest poprawnie. Wydawało mi się, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon} >0 \Leftrightarrow \epsilon >0 \Leftrightarrow \epsilon \in \left( 0, \infty \right) }\)

zatem kwantyfikator jest zawsze po tym samym zbiorze i niezależnie od zapisu epsilon po prostu przebiega liczby dodatnie.

Sprawdziłby ktoś czy mam to formalnie dobrze?

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( a_n > A \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \frac{1}{A} \right) }\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{A}}\) przyjmuje wartości większe od 0 i zależy tylko od przyjętego A, można więc przekształcić to do równoważnej formuły:

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

Skoro \(\displaystyle{ a_n}\) dąży do nieskończoności to od pewnego miejsca zawsze będzie dodatni, można więc bez straty ogólności zapisać, że

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( -\epsilon < \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \left|\frac{1}{a_n}-0\right| < \epsilon \right) }\)

Jak dla mnie to jest dokładnie to samo tylko trochę zmieniłeś kolejność wniokowania i zamiast literki \(\displaystyle{ M}\) postawiłeś \(\displaystyle{ A}\). Przemilczałeś też (niewygodny) fakt nazwania \(\displaystyle{ \frac{1}{A} }\) jako \(\displaystyle{ \epsilon}\) co widać w trzeciej linijce rozwiązania gdzie znikąd zaczyna pojawiać się jakiś \(\displaystyle{ \epsilon}\). Przemilczenie niewygodnego faktu raczej nie sprawi, że rozwiązanie stanie się formalnie poprawne.


PS @Jan Kraszewski czyżby chodziło o fakt, że nie powołałem się na Aksjomat Archimedesa? Chodzi o to, że \(\displaystyle{ \epsilon}\) faktycznie może być dowolnie mały bo \(\displaystyle{ \epsilon= \frac{1}{M} }\).

[Jan Kraszewski]

Poprosze o wyjaśnienie dlaczego formalnie nie jest poprawnie. Wydawało mi się, że:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon} >0 \Leftrightarrow \epsilon >0 \Leftrightarrow \epsilon \in \left( 0, \infty \right) }\)

zatem kwantyfikator jest zawsze po tym samym zbiorze i niezależnie od zapisu epsilon po prostu przebiega liczby dodatnie

Ten zapis nie jest formalnie poprawny, ponieważ kwantyfikator jest używany w następujący sposób:

\(\displaystyle{ (\forall x\in X)\varphi(x).}\)

Kwantyfikator zawsze kwantyfikuje po ustalonej zmiennej, zatem kwantyfikator \(\displaystyle{ \left( \forall \frac{1}{\epsilon} >0 \right)}\) kwantyfikuje po zmiennej \(\displaystyle{ \frac{1}{\epsilon}}\), która jest pojedynczym symbolem (a nie ilorazem!). W związku z tym nie można traktować zapisu

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( \epsilon> \frac{1}{a_n} \right) }\)

jako przekształcenia zapisu

\(\displaystyle{ \left( \forall \frac{1}{\epsilon} >0 \right) \left( \exists N\in\NN\right) \left( \forall n>N\right) \left( a_n> \frac{1}{\epsilon} \right) }\).

JK

[mkmkmkmk]

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \frac{1}{A} \right) }\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{A}}\) przyjmuje wartości większe od 0 i zależy tylko od przyjętego A, można więc przekształcić to do równoważnej formuły:

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

Mam jeszcze tylko pytanie, czy opis słowny który zastosowałem przy tym przekształceniu jest formalnie wystarczający?

[Jan Kraszewski]

Mam jeszcze tylko pytanie, czy opis słowny który zastosowałem przy tym przekształceniu jest formalnie wystarczający?

Ujdzie, ale jak dla mnie jest tam za dużo znaczków, a za mało słów. Lepiej byłoby tak:

Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } {a_n}=\infty}\), czyli

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( a_n > A \right) }\)

albo równoważnie

\(\displaystyle{ \left( \forall A >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \frac{1}{A} \right) }\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{A}}\) przyjmuje wartości większe od 0 i zależy tylko od przyjętego A, można więc powyższy warunek możemy przekształcić do

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \frac{1}{a_n} < \epsilon \right). }\)

Skoro ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) dąży do nieskończoności to od pewnego miejsca zawsze będzie dodatni, wnioskujemy więc że

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( -\epsilon < \frac{1}{a_n} < \epsilon \right) }\)

czyli

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \left|\frac{1}{a_n}-0\right| < \epsilon \right) }\)

co oznacza, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_n}=0}\), czego należało dowieść.


Jednak dla mnie to wciąż zbyt znaczkowy dowód. Ja bym zaczął od drugiej strony:

Chcemy udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{a_n}=0}\), czyli

\(\displaystyle{ \left( \forall \epsilon >0 \right) \left( \exists n_0 \in\NN\right) \left( \forall n>n_0\right) \left( \left|\frac{1}{a_n}\right| < \epsilon \right) }\).

Ustalmy zatem dowolne \(\displaystyle{ \epsilon >0}\). Z założenia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } {a_n}=\infty}\) wiemy, że istnieje \(\displaystyle{ n_0 \in\NN}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ n>n_0}\) mamy \(\displaystyle{ a_n > \frac{1}{\epsilon}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n} < \epsilon}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a_n > \frac{1}{\epsilon}>0,}\) więc \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n} >0}\), skąd mamy \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{a_n}\right| < \epsilon}\), co kończy dowód.

JK

[a4karo]

Tu jeszcze trzeba odpowiedzieć na fundamentalne pytanie : dlaczego można zastąpić `1/A` przez `\varepsilon`, Do tego trzeba wiedzieć, że gdy `A` dąży do nieskończoności to `1/A`dąży do zera. Czyli trzeba wiedzieć to, co chcemy udowodnic.