granica ciągu - zadanie

[Dzbanzmatmy]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego przykładu. Wyznaczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n!}{ n^{n} } }\). Sprawdziłam monotoniczność i ograniczoność i wyszło mi, że ciąg jest zbieżny. Jednak nie umiem wyznaczyć jego granicy.

[Jan Kraszewski]

Dla wygody zapisu rozpatrzmy podciąg dla \(\displaystyle{ n=2k}\). Wtedy \(\displaystyle{ (2k)!\le k^k\cdot(2k)^k}\) (każdy z pierwszych \(\displaystyle{ k}\) wyrazów szacujesz z góry przez \(\displaystyle{ k}\), każdy z pozostałych \(\displaystyle{ k}\) wyrazów szacujesz z góry przez \(\displaystyle{ 2k}\)) i mamy

\(\displaystyle{ 0\le \frac{(2k)!}{(2k)^{2k}}\le \frac{k^k\cdot(2k)^k}{(2k)^{2k}}=\left( \frac{1}{2} \right)^k. }\)

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ 0 < \frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n} \cdot ...\cdot \frac{n}{n} \leq \frac{1}{n} }\)
i
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} = 0. }\)