Wyznaczenie ilorazu ciagu Fibonacciego

[janusz47]

Rozwinięcie w ułamek łańcuchowy:

\(\displaystyle{ a = \lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 +\frac{1}{1 + \frac{1}{ 1 + \frac{1}{1+...}}} }\)

\(\displaystyle{ a = 1 +\frac{1}{a} }\)

\(\displaystyle{ a^2 - a -1 = 0, }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1 +\sqrt{5}}{2}. }\)

[Lider_M]

Oczywiście, przy założeniu, że granica ciągu \(a_n\) istnieje.

[Mondo]

Chciałbym jeszcze przeanalizować ciąg Fibonacciego w oparciu o funkcje tworzace, przykład można znaleźć tutaj ->

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_tworz%C4%85ca#Liczby_Fibonacciego

Pierwsza rzecz której nie rozumiem, to dlaczego w funkcji tworzącej \(\displaystyle{ F(x) = \sum_{0}^{\infty} F_n x^n }\) mnożymy przez `x^n` czym to jest?

Druga kwestia, ta funkcja tworząca w pewnym momencie z postaci: \(\displaystyle{ F(x) = F_1x + x^2 \sum_{n=2}^{\infty} F_{n-2} x^{n-2} + x \sum_{n=2}^{\infty} F_{n-1} x^{n-1}}\) zostaje przekształcona w \(\displaystyle{ F(x) = F_1x + x^2 \sum_{n=0}^{\infty} F_{n} x^{n} + x \sum_{n=1}^{\infty} F_{n} x^{n}}\) (1)
Dlaczego? Wydaje mi się, że jest to po prostu zapisanie \(\displaystyle{ F(x) = F(x-2) + F(x-1)}\) w dosyć pokrętny sposób.

@janusz47, w jaki sposób to rozwinięcie w ułamek łańcuchowy który przytoczyłeś łaćzy się z ciagiem Fibonacciego?