Nieograniczony ciąg

[mol_ksiazkowy]

Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ a_{n+1} = \begin{cases} a_n^2 -5 \ \ jeśli \ \ a_n \ jest \ nieparzyste \\ \frac{a_n}{2} \ jeśli \ \ a_n \ jest \ parzyste \end{cases} }\)
gdzie \(\displaystyle{ a_0 >5}\).
Udowodnić, że ten ciąg jest nieograniczony.

[kerajs]

Kontrprzyklady:
\(\displaystyle{ a_0=6\\
a_0=2^k}\)

[mol_ksiazkowy]

Istotnie \(\displaystyle{ a_0 }\) jest nieparzyste...

[Premislav]

Jeśli \(\displaystyle{ a_{0}}\) jest nieparzyste, to:
\(\displaystyle{ a_{0}^{2}\equiv 1\pmod{8}}\), a zatem \(\displaystyle{ a_{1}=a_{0}^{2}-5\equiv 4\pmod{8}}\) i wtedy oczywiście \(\displaystyle{ a_{1}, \ a_{2}}\) są parzyste, a już \(\displaystyle{ a_{3}=\frac{a_{1}}{4}}\) nie jest. Mamy
\(\displaystyle{ a_{3}=\frac{a_{1}}{4}=\frac{a_{0}^{2}-5}{4}>a_{0}}\), przy czym ostatnia nierówność wynika z \(\displaystyle{ a_{0}>5}\). A skoro ciąg jest, jak łatwo widać, całkowitoliczbowy, to z \(\displaystyle{ a_{3}>a_{0}}\) wynika \(\displaystyle{ a_{3}\ge a_{0}+1}\)
Na tej samej zasadzie indukcyjnie dowodzimy, że \(\displaystyle{ a_{3k}\ge a_{0}+k}\) i to natychmiast kończy dowód.