Poprawność zapisu - granica ciągu, sprzężanie.

[asdasdasdfffffff]

Cześć, chciałbym zapytać o poprawność moich zapisów dot. Pewnego przykładu:

\(\displaystyle{ \frac{( \sqrt{n^ 2+2n})-( \sqrt{n^ 2 - 2n})}{5} }\)

Otóż po uprzątnięciu zostaje:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n \sqrt{1} + n\sqrt{1})} }\)

Czy jeżeli będę chciał rozbić w mianowniku, wyrażenie które znajduje się w nawiasie na:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n( \sqrt{1} + \sqrt{1} ))}= \frac{4n}{5(n(2))}= \frac{4n}{10n} }\)

Czy jest to "dopuszczalne"? Wynik zgadza się z odpowiedzią, jednakże chciałbym wiedzieć, czy ewentualnie mógłbym zastosować podobny zapisać przykładowo na kolokwium.

[Tmkk]

\(\displaystyle{ \frac{( \sqrt{n^ 2+2n})-( \sqrt{n^ 2 - 2n})}{5} }\)

Otóż po uprzątnięciu zostaje:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n \sqrt{1} + n\sqrt{1})} }\)

To jest niepoprawne przejscie. Wygląda jakbyś przechodzić z granicą \(\displaystyle{ n\to\infty}\) kawałkami.

Powinno być: \(\displaystyle{ \frac{4n}{5\left(n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)} }\). Teraz skracasz \(\displaystyle{ n}\) z licznika i mianownika i dopiero wtedy przechodzisz do granicy.

[asdasdasdfffffff]

\(\displaystyle{ \frac{( \sqrt{n^ 2+2n})-( \sqrt{n^ 2 - 2n})}{5} }\)

Otóż po uprzątnięciu zostaje:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n \sqrt{1} + n\sqrt{1})} }\)

To jest niepoprawne przejscie. Wygląda jakbyś przechodzić z granicą \(\displaystyle{ n\to\infty}\) kawałkami.

Powinno być: \(\displaystyle{ \frac{4n}{5\left(n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)} }\). Teraz skracasz \(\displaystyle{ n}\) z licznika i mianownika i dopiero wtedy przechodzisz do granicy.

Wybacz, zapomniałem wyciągnąć 'n' z całego wyrażenia. Skoro \(\displaystyle{ \frac{2}{n} }\) dąży do 0, po prostu tego nie zapisałem. Jednakże o ile dobrze pamiętam tłumaczenie tego tematu, wyglądało to tak:

przypuśćmy, że nie będę teraz skracał 'n'. Zaczynając od Twojego zapisu:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5\left(n \sqrt{1 + \frac{2}{n}} + n\sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)} }\)

następnie:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n( \sqrt{1} + \sqrt{1})} }\) ponieważ \(\displaystyle{ \frac{2}{n} }\) w oby pierwiastkach dążą do 0, tak?

dalej:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n( 1+1))} }\)

...

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n(2))} }\)

...
\(\displaystyle{ \frac{4n}{10n} = \frac{2}{5} }\) po skróceniu 'n'. Czy ten zapis jest poprawny?

[Janusz Tracz]

Przechodzisz do granicy tylko z częścią \(\displaystyle{ n}\). W tym przykładzie nie powoduje to komplikacji* ale w ogólności może. Taki zapis jest niepoprawny. Dokładnie mam na myśli moment w którym piszesz:

\(\displaystyle{ \frac{4n}{5(n \sqrt{1} + n\sqrt{1})} }\)

Powinieneś za radą Tmkk najpierw skrócić \(\displaystyle{ n}\) z licznika i mianownika a dopiero potem wnioskować jak zachowuje się ułamek przy \(\displaystyle{ n\to \infty }\). Oczywiście trzeba też pisać \(\displaystyle{ \lim_{ } }\) lub umiejętnie posługiwać się "\(\displaystyle{ \rightarrow }\)" ale mam nadzieję, że po prostu nie chciało Ci się pisać tego w Latexie. W innym wypadku taki zapis jest błędną ścianą znaczków.

* \(\displaystyle{ \red{\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \rightarrow 1^n \rightarrow 1}}\) co jest oczywiście nieprawdą!