Twierdzenie o 3 ciągach

[blazy87]

Zastanawia mnie temat związany z obliczaniem granic z Tw. o 3 ciągach.

Jeżeli mam np. ciąg

\(\displaystyle{
\sqrt{ 3^{n} + 2^{n} }
}\)
No to wiem jakie podać ciągi żeby ograniczyć z góry i z dołu.
Co w przypadku gdyby ciąg wyglądał tak:

\(\displaystyle{
\sqrt{ 3^{n} - 2^{n} }
}\)

jak ograniczyć z dołu ?

[Tmkk]

Na przykład można sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2^n \le \frac{1}{2}3^n}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) (tutaj to już nawet dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)). Więc mamy

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{1}{2}3^n} \le \sqrt[n]{3^n - 2^n} \le \sqrt[n]{3^n}}\)

[blazy87]

Dobrze rozumiem, przecież Tw. o 3 ciągach działa także "od pewnego momentu" czy tam dla dostatecznie dużych n...

Chciałbym jeszcze dalej pociągnąć temat. Czy istnieje jakaś uniwersalna metoda która pozwoli np. ograniczyć taki ciąg:

\(\displaystyle{
\sqrt[n]{10^n - 7^n - 5^n}
}\)
z dołu ?

[Tmkk]

Tak, zgadza się.

Co do kolejnego przykładu, spróbuj dokładnie w ten sam sposób, jak zrobiłem przed chwilą. To zazwyczaj będzie działać na podobnej zasadzie.