Trzy ciągi, jak wyznaczyć każdy z nich

[mmss]

Cześć

mam takie zadanie. Niech \(\displaystyle{ q_{n+1}=\frac{1}{2}(p_{n}+r_{n}), r_{n+1}=\frac{1}{2}(q_{n}+p_{n}), p_{n+1}=\frac{1}{2}(r_{n}+q_{n})}\)
Załóżmy że \(\displaystyle{ p_{0} = 1}\).

Jak pokazać że \(\displaystyle{ p_{n+1} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^{n}}\) oraz \(\displaystyle{ q_{n}=r_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}(-\frac{1}{2})^{n+1}}\)

Podobno to łatwo widać, próbowałem na różne sposoby odejmować/dowadać do siebie pierwsze trzy zależności ale nic nie doprowadza na coś podobnego do ostatecznego wyniku. Czy ktoś widzi jak można zacząć?

Bardzo dziękuję za pomoc.

[Dasio11]

mam takie zadanie. Niech \(\displaystyle{ q_{n+1}=\frac{1}{2}(p_{n}+r_{n}), r_{n+1}=\frac{1}{2}(q_{n}+p_{n}), p_{n+1}=\frac{1}{2}(r_{n}+q_{n})}\)
Załóżmy że \(\displaystyle{ p_{0} = 1}\).

To za mało, żeby ciągi były zdefiniowane jednoznacznie - musisz jeszcze na przykład zdefiniować \(\displaystyle{ q_0}\) i \(\displaystyle{ r_0}\).

[kerajs]

A zacząć można choćby tak:
\(\displaystyle{ p_{n+2}= \frac{1}{2}(q_{n+1}+r_{n+1})= \frac{1}{2}(\frac{1}{2}(p_{n}+r_{n})+\frac{1}{2}(q_{n}+p_{n}))=\frac{1}{2}(p_{n+1}+p_{n}) \\
2p_{n+2}-p_{n+1}-p_n =0\\
2r^2-r-1=0\\
(r-1)(2r+1)=0}\)

[mmss]

@Dasio11, Czy na pewno? Bo te równania są z rozwiązania zadanie którego polecenie brzmi : Mamy trzy punkty P, Q i R gdzie jeden uznajemy za początkowe położenie np. P. Z równym prawdopodobieństwem losujemy kolejny z pozostałych i na niego przechodzimy i znów losujemy i tak cały czas. Podaj macierz przejścia odpowiedniego łańcucha Markowa oraz znaleźć prawdopodobieństwa znalezienia się w pozostałych stanach w chwili n.

Macierz przejścia ma postać \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0
\end{pmatrix}}\)

Czy należy tu przyjąć że \(\displaystyle{ r_{0}=q_{0} = 0}\) skoro \(\displaystyle{ p_{0} = 1}\)?

[Dasio11]

Skoro zaczynamy w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to w chwili startowej oczywiście na pewno nie jesteśmy ani w punkcie \(\displaystyle{ Q}\), ani \(\displaystyle{ R}\). Czyli istotnie \(\displaystyle{ p_0 = 1, q_0 = r_0 = 0}\).

[mmss]

Mając ta informację (czyli że : \(\displaystyle{ p_{0} = 1,q_{0}=r_{0}=0}\)) rozumiem że idąc tym co napisał @kerajs jest szansa otrzymać ostateczne równania z pierwszego posta?

[Dasio11]

Jest.