wykaz monotonicznosci | granica ciągu | wykładnik potęgi

[Elepet]

Witam wszystkich,
niestety mimo wielu prób cały czas mam problem z rozwiązaniem poniższych zadań. Cześć z nich udało mi się rozwiązać połowicznie, ale nie jestem pewien wyniku ani jaki powinienem zrobić kolejny krok. Bardzo proszę o pomoc, nawet o jakaś wskazówkę, która pomoże mi te zadania rozwiązać.

zad 1
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n > n_0}\), ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest monotoniczny. Wskaż numer \(\displaystyle{ n_0}\) i określ rodzaj monotoniczności.

a) \(\displaystyle{ a_n = \frac{12n + 3}{14n + 13}}\)

Zastosowałem \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\), wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{6}{7}}\) . Tylko co dalej ? To juz jest \(\displaystyle{ n_0}\) ? No i jak dość do tego czy rośnie lub maleje ?

b) \(\displaystyle{ a_n = \frac{35^n}{40\cdot n!}}\)
Zastosowałem to samo co wyżej, wynik to \(\displaystyle{ \frac{35}{n+1}}\) . Ten sam problem. Co teraz ?

zad 2
Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

a) \(\displaystyle{ a_n =\frac{1 + 2+ 3 + ... + n}{ \sqrt{14_{n^4} + 14}}}\)
Licznik uprościłem do \(\displaystyle{ n^2 \cdot (1 + \frac{1}{n}) }\), nie wiem jak się zabrać za mianownik.

b) \(\displaystyle{ a_n =\frac{ 1 + (1 + 42) + (1 + 84)+ ... + (1 + (n - 1) 42) }{7n - 3} - 3n }\)


zad 3
Wyznacz granicę ciągów:

a) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(\sqrt{4n^2 - 2n - 2} - 2n - 14\right)}\)


zad 4
Stosując twierdzenie o 3 ciągach. Wyznacz granice ciągu liczbowego.

a) \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 5n^2}} + \frac{1}{\sqrt{2 + 5n^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n + 5n^2}} \right)}\)

zad 5
Wyznacz tylko wykładnik potęgi w wiedząc, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{2n + 4}\right)^{8n}=e^w}\)

[Janusz Tracz]

To co piszesz jest mocno chaotyczne. Nawet gdy opisujesz równoważnikiem zdania co zrobiłeś i tak trudno domyślić się o co Ci chodzi. Powoli i po kolei przemyśl i napisz to co robisz i się nad tym zastanów jeszcze raz, a nie wstawiaj znaczki w inne znaczki które są wzorami.

zad 1
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n > n_0}\), ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest monotoniczny. Wskaż numer \(\displaystyle{ n_0}\) i określ rodzaj monotoniczności.
a) an = \(\displaystyle{ \frac{12n + 3}{14n + 13}}\)

Treść tego zadania nie jest jednoznaczna ale zakładam, że chodzi o najmniejsze takie \(\displaystyle{ n_0}\) od którego ciąg jest monotoniczny. Policz kilka pierwszych wyrazów \(\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,...}\) czy coś zauważasz? Potem warto policzyć:

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=...}\)

policz to i pokaż wynik. Jaki wniosek z tego można wyciągnąć?

b) an = \(\displaystyle{ \frac{35^n}{40 * n!}}\)
Zastosowałem to samo co wyżej, wynik to \(\displaystyle{ \frac{35}{n+1}}\) . Ten sam problem. Co teraz ?

policzyłeś \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} }\) i wyszło \(\displaystyle{ \frac{35}{n+1}}\). A wiesz po co to policzyłeś? Wskazówka: dla \(\displaystyle{ n>35}\) tan ułamek będzie mniejszy od \(\displaystyle{ 1}\).

zad 2
Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) an = \(\displaystyle{ \frac{1 + 2+ 3 + ... + n}{ \sqrt{14_{n^4} + 14}}}\)
Licznik uprościłem do \(\displaystyle{ n^2 * (1 + \frac{1}{n}) }\), nie wiem jak się zabrać za mianownik.

Źle uprościłeś licznik. Zastosuj wzór na sumę ciągu arytmetycznego i wyciągnij \(\displaystyle{ n^2}\). A w mianowniku wyciągnij spod pierwiastka \(\displaystyle{ 14n^4}\).

Wskazówki do reszty:

3. Zastosuj wzór \(\displaystyle{ a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b} }\)

4. Zastanów się jak oszacować \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1 + 5n^2}} + \frac{1}{\sqrt{2 + 5n^2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n + 5n^2}} }\) z dołu i góry przez najmniejszy i największy wyraz takiej sumy.

5. \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{2n + 4}\right)^{8n}=\lim_{n\to \infty}\left( \left(1+\frac{1}{2n + 4}\right)^{ 2n + 4}\right)^{ \frac{8n}{2n + 4} } }\)

[Elepet]

Dziękuje serdecznie za odpowiedź.

W zadaniu 1 muszę obliczyć \(\displaystyle{ n_0}\) oraz stwierdzić czy rodzaj monotoniczności jest rosnący czy malejący.

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = r = \frac{114}{1107}}\)

Taki mam wynik, tylko jak na tej podstawie obliczyć \(\displaystyle{ n_0}\) ? Widać, że po obliczeniu \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3}\) jest rosnący, więc juz można to tak zaliczyć ?

W podpunkcie b), mój błąd. Nie wyjaśniłem czemu policzyłem to w taki sposób. Otóż znalazłem podobne zadanie, tutaj na forum i zrobiłem to na wzór tamtego. Nie dokończyłem, ponieważ wątek się urwał a ja zostałem z tym co napisałem wyżej.

Tak, obliczyłem w ten sam sposób. Tylko było kilka wariantów. Pierwszy tak jak Pan napisał wyżej, drugi to zmiana znaku na większy bądź równy .
Co w takim wypadku daje nam to co Pan napisał, że ten ułamek będzie mniejszy od 1 ?

W zadaniu drugim doszedłem do takiego zapisu, pytanie co zrobić dalej ?

\(\displaystyle{ \frac{n^2 + 2}{2 \sqrt{14n^4 + 14}}}\)

Zadanie 3 i 4 zrobiłem, dziękuję za wskazówki przy nich.

W zadaniu 8 dalej nie do końca wiem jak to zrobić.

Wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e}\)

Trzeba jakoś ten mianownik przekształcić do tego co wyżej, tylko nie wiem jak to zrobić używając wykładników.


Mógłbym również prosić Pana o wskazówkę do zadania 2, podpunkt b ?

\(\displaystyle{ a_n =\frac{ 1 + (1 + 42) + (1 + 84)+ ... + (1 + (n - 1) 42) }{7n - 3} - 3n }\)


Dziękuję jeszcze raz i pozdrawiam.

[Jan Kraszewski]

W zadaniu 1 muszę obliczyć \(\displaystyle{ n_0}\) oraz stwierdzić czy rodzaj monotoniczności jest rosnący czy malejący.

\(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = r = \frac{114}{1107}}\)

Taki mam wynik, tylko jak na tej podstawie obliczyć \(\displaystyle{ n_0}\) ? Widać, że po obliczeniu \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3}\) jest rosnący, więc juz można to tak zaliczyć ?

Nie mogę się powstrzymać: to trochę tak, jakbyś zadał pytanie "Miałem transmutować popielniczkę w chomika. Wyszło mi coś, co ma cztery nogi i biega w kółko, ale puszcza dym paszczą. Można to tak zaliczyć?".

Matematyka to nie czary. Nie masz pojęcia, co robisz i w dodatku robisz to źle. Różnica \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n}}\) jest zdecydowanie inna od tego, co policzyłeś, więc policz to jeszcze raz (albo napisz, jak liczysz, to pokażemy Ci, co robisz źle). Ale to tylko część problemu. Ty w ogóle nie wiesz PO CO liczysz tę różnicę, nie rozumiesz też polecenia. Jest na to tylko jedna rada - wrócić do definicji i zrozumieć, o co tu w ogóle chodzi.

I nie, po obliczeniu \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3}\) widać tylko, że pierwsze trzy wyrazy ciągu tworzą postęp rosnący, więc wcale nie widać, że jest to ciąg rosnący - może przestać rosnąć np. od 127. wyrazu, a potem znowu zacząć rosnąć od 333. wyrazu, a potem znów przestać i tak wiele razy...

JK

[Janusz Tracz]

Zgadzam się z przedmówcą. Więc nie będę już komentować zadania \(\displaystyle{ (1)}\). Wyjątkowo pokaże gotowca z zadania \(\displaystyle{ (2a)}\) bo widać, że próbujesz. Więc przypomnę, że:

\(\displaystyle{ 1+2+3+...+n= \frac{1+n}{2} \cdot n = \frac{n^2+n}{2} }\)

i wynika to z

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_arytmetyczny

. Więc liczymy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n^2+n}{2} }{ \sqrt{14n^4+14} } = \lim_{n \to \infty } \frac{n^2+n}{ 2 \sqrt{14n^4+14} }= \lim_{n \to \infty } \frac{n^2\left( 1+ \frac{1}{n} \right) }{ 2 \sqrt{14n^4\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) } } = \lim_{n \to \infty } \frac{n^2\left( 1+ \frac{1}{n} \right) }{ 2 \sqrt{14} n^2 \cdot \sqrt{\left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) } } = \frac{1}{2 \sqrt{14} } }\)

zadanie \(\displaystyle{ \left( 2b\right) }\) zostawiam Tobie ale zachęcam do uprzedniej powtórki wiadomość z ciągów zanim zaczniesz liczyć ich granice.

[Elepet]

Zrozumiałem w czym robiłem błąd w zadaniu 1. Wygląda to następująco

a) \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = \frac{12(n + 1) + 3}{14(n + 1) + 3} - \frac{12n + 3}{14n + 3} =
\frac{12n + 15}{14n + 17} - \frac{12n + 3}{14n + 3} =
\frac{12}{(14n + 17)(14n + 3)} }\)

b) \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} = \frac{35^{n+1}}{40(n+1)!} - \frac{35^n}{40n!} = \frac{35^{n+1} - 35^n}{(40(n+1)!)(40n!)} }\) I wersja

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{35^{n+1}}{40(n+1)!} \cdot\frac{40n!}{35^n} = \frac{35}{n+1} }\) II wersja


Wiem, że trzeba sprawdzić dla jakiej liczby \(\displaystyle{ n_0}\) dany ciąg jest malejący lub rosnący. Przykład a) jasno pokazuję, że różnica jest dodatnia, wiec jest rosnący ? Tylko od jakiej liczby ?
Co do przykładu b) logicznie wydaje się, że II wersja ma większy sens. Tylko co wpływa na to, że raz wybiera się taką a raz taką. To kwestia tego, że w b) wykładnik jest do potęgi \(\displaystyle{ n}\) ?
Mimo wszystko bardzo proszę o wskazówkę co mogę zrobić dalej aby rozwiązać to zadanie.

Zadanie 5 zrobiłem w następujący sposób. Pytanie czy wynik mam dobry.

\(\displaystyle{ \frac{ [ (1 + \frac{1}{2n+4} )^{2n+4} ]^4 } { (1 + \frac{1}{2n + 4})^{16} } = \frac{e^4}{(1+0)^{16}} = e^4 }\)


Ponawiam prośbę o jakąkolwiek wskazówkę co do zadania 2, podpunkt b). Nie wiem kompletnie jak się zabrać za licznik.

Dziękuję jeszcze raz za wszystkie odpowiedzi i pomoc w zrozumieniu powyższych zadań.

[Jan Kraszewski]

Wiem, że trzeba sprawdzić dla jakiej liczby \(\displaystyle{ n_0}\) dany ciąg jest malejący lub rosnący. Przykład a) jasno pokazuję, że różnica jest dodatnia, wiec jest rosnący ? Tylko od jakiej liczby ?

To jest pytanie nie o liczbę, tylko o indeks, czyli miejsce w ciągu. Skoro jest rosnący, to jest rosnący od początku, czyli \(\displaystyle{ n_0=...}\)

Co do przykładu b) logicznie wydaje się, że II wersja ma większy sens. Tylko co wpływa na to, że raz wybiera się taką a raz taką. To kwestia tego, że w b) wykładnik jest do potęgi \(\displaystyle{ n}\) ?

Obie wersje mają dokładnie taki sam sens i w obu wypadkach rachunek jest podobny. Tylko trzeba wiedzieć, co masz liczyć.

Z definicji ciąg o wyrazach dodatnich jest rosnący od miejsca \(\displaystyle{ n_0}\) jeśli \(\displaystyle{ (\forall n\ge n_0)\frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\). Podobnie, ciąg o wyrazach dodatnich jest malejący od miejsca \(\displaystyle{ n_0}\) jeśli \(\displaystyle{ (\forall n\ge n_0)\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1}\). Teraz musisz zdecydować, która z tych sytuacji występuje tutaj i ile wynosi \(\displaystyle{ n_0}\).

JK

[Elepet]

Dziękuję jeszcze raz za pomoc przy zadaniach. Wszystkie zrobiłem i przy okazji zrozumiałem o co w nich chodziło.
Życzę udanego weekendu i pozdrawiam !