Rozbieżność ciągu geometrycznego

[cmnstrnbnn]

Witam, przejdę od razu do pytania

1. Dlaczego dla \(\displaystyle{ q=-1}\) ( \(\displaystyle{ a_{1} \neq 0}\)) , ciąg geometryczny nie jest zbieżny?
2. Jeżeli ciąg geometryczny nie jest zbieżny, to musi być rozbieżny?
Wiem, że wygląda to na dość proste pytania, lecz prosiłbym o zachowanie powagi i próbę wytłumaczenia mi tych zagadnień.

Pozdrawiam

[Janusz Tracz]

1. Dlaczego dla \(\displaystyle{ q=-1}\) ( \(\displaystyle{ a_{1} \neq 0}\)) , ciąg geometryczny nie jest zbieżny?

Ponieważ nie spełnia definicji ciągu zbieżnego. A konkretnie można wybrać dwa podciągi (liczby parzyste i nieparzyste) po których skacząc co drugi wyraz raz dostajemy granicę \(\displaystyle{ g}\) a z drugiej strony \(\displaystyle{ -g}\). A jako, że \(\displaystyle{ g \neq -g}\) (przy założeniu \(\displaystyle{ a_1 \neq 0}\)) to zbieżności nie ma.

2. Jeżeli ciąg geometryczny nie jest zbieżny, to musi być rozbieżny?

To zależy co rozumiesz przez rozbieżność jeśli rozbieżnym nazwiesz ciąg który nie jest zbieżny to tak. Bo trzeciej opcji nie ma. Ale jeśli przez rozbieżność rozumiesz szczególny przypadek ciągu który dąży do \(\displaystyle{ \infty }\) to nie. Bo granica może nie istnieć.