zbieżność ciagu

[ann_u]

Dany jest ciag \(\displaystyle{ (x_n)}\) o dodatnich wyrazach taki że \(\displaystyle{ \lim \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=1}\) przy n dążącym do nieskończoności oraz
\(\displaystyle{ (x_{n+1}-x_n)(1-x_{n+1}x_n) \ge 0, \forall n\in N>0}\)
Wykaż \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny.

[pkrwczn]

Nierówność oznacza że ciąg jest równocześnie ograniczony i monotoniczny, więc zbieżny. Wyrazy są dodatnie, więc już jest ograniczony od dołu.
W nierówności oba nawiasy mają być dodatnie albo oba ujemne:

\(\displaystyle{ \left[x_{n+1} \ge x_n \wedge 1 \ge x_{n+1}x_n \right] \vee \left[ x_{n+1} \le x_n \wedge 1 \le x_{n+1}x_n\right] \Leftrightarrow \left( A \wedge B\right) \vee \left( C \wedge D\right) }\)

C i D: wg C ciąg jest monotoniczny malejący, czyli ograniczony od góry. D oznacza tylko, że granica ma być większa niż jeden a to bez znaczenia.
A i B: wg A ciąg jest monotoniczny rosnący ale już wiemy, że jest ograniczony od dołu. B oznacza, że granica jest mniejsza niż jeden czyli mamy ograniczenie od góry.

A \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_{n+1}}{x_{n}} =1}\) zachodzi dla wszystkich ciągów zbieżnych do granicy innej niż zero.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left[x_{n+1} \ge x_n \wedge 1 \ge x_{n+1}x_n \right] \vee \left[ x_{n+1} \le x_n \wedge 1 \le x_{n+1}x_n\right] \Leftrightarrow \left( A \wedge B\right) \vee \left( C \wedge D\right) }\)

C i D: wg C ciąg jest monotoniczny malejący [...]
A i B: wg A ciąg jest monotoniczny rosnący [...]

Ta analiza jest niepoprawna, bo dla niektórych \(\displaystyle{ n}\) może zachodzić pierwszy wariant, a dla innych drugi.

[a4karo]

Nierówność oznacza że ciąg jest równocześnie ograniczony i monotoniczny, więc zbieżny. Wyrazy są dodatnie, więc już jest ograniczony od dołu.

A możesz pokazać skąd to wynika? Ciąg `1/2,2,1/2,2,...` spełnia nierówność

[pkrwczn]

Uzupełnienie.

Wyrazy \(\displaystyle{ x_{n+1}}\) spełniające nierówności \(\displaystyle{ x_n \le x_{n+1} \ge x_{n+2}}\) definiują ciąg \(\displaystyle{ \left( g_n\right) }\).
Dla \(\displaystyle{ x_{n+1}}\) spełniających nierówności \(\displaystyle{ x_n \ge x_{n+1} \le x_{n+2}}\) definiujemy ciąg \(\displaystyle{ \left( k_n\right) }\).
Niech pozostałe definiują ciąg \(\displaystyle{ \left( h_n\right) }\).

Dla \(\displaystyle{ x_{n+1}}\) będącym w \(\displaystyle{ \left( k_n\right) }\) mamy \(\displaystyle{ \left( x_n \ge x_{n+1} \le x_{n+2} \right) \wedge (x_{n+1}-x_n)(1-x_{n+1}x_n) \ge 0 \wedge (x_{n+2}-x_{n+1})(1-x_{n+2}x_{n+1}) \ge 0 \Rightarrow }\)
\(\displaystyle{ \left( x_n \ge x_{n+1} \le x_{n+2}\right) \wedge \left( x_{n+1} \le x_n \vee 1\le x_{n+1}x_n\right) \wedge \left( x_{n+2} \ge x_{n+1} \vee 1\ge x_{n+2}x_{n+1}\right) \Rightarrow }\)
\(\displaystyle{ \left( x_n \ge x_{n+1} \le x_{n+2}\right) \wedge \left(1\le x_{n+1}x_n\right) \wedge \left(1\ge x_{n+2}x_{n+1}\right) \Rightarrow x_{n+2} \le \frac{1}{x_{n+1}} \le x_n \Rightarrow }\)
Ani \(\displaystyle{ a_n}\) ani \(\displaystyle{ a_{n+2}}\) nie może być w \(\displaystyle{ (k_n)}\) jeśli \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) już tam jest.
Teraz dla \(\displaystyle{ x_{n+3}}\), który może ale nie musi być w \(\displaystyle{ (k_n)}\):
\(\displaystyle{ (x_{n+3}-x_{n+2})(1-x_{n+3}x_{n+2}) \ge 0 \Rightarrow }\)
\(\displaystyle{ \left(x_{n+3} \ge x_{n+2} \wedge x_{n+3} \le \frac{1}{x_{n+2}} \right) \vee \left(x_{n+3} \le x_{n+2} \wedge x_{n+3} \ge \frac{1}{x_{n+2}} \ge x_{n+1} \right) \Rightarrow x_{n+3} \ge x_{n+1}}\)
Indukcyjnie \(\displaystyle{ x_{n+4} \ge x_{n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+5} \ge x_{n+1}}\), \(\displaystyle{ \ \ x_{n+6} \ge x_{n+1}}\) itd.
\(\displaystyle{ x_{n+1}}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ x_n \ge x_{n+1} \le x_{n+2}}\) wyznacza więc dolne ograniczenie dla wszystkich następnych wyrazów i dlatego \(\displaystyle{ (k_n)}\) definiuje ciąg rosnący.

W Przypadku \(\displaystyle{ \left( g_n\right) }\) jest odwrotnie czyli jest malejący. \(\displaystyle{ \left( g_n\right) }\) jest ograniczony od dołu przez \(\displaystyle{ \left( k_n\right) }\) a \(\displaystyle{ \left( k_n\right) }\) jest ograniczony od góry przez \(\displaystyle{ \left( g_n\right) }\) czyli oba są ograniczone i monotoniczne, więc zbieżne.

Mamy też \(\displaystyle{ g_n \ge h_n \ge k_n}\) czyli \(\displaystyle{ g_n \ge x_n \ge k_n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ (g_n) \rightarrow g}\) i \(\displaystyle{ (k_n) \rightarrow k}\) nie dążą do wspólnej granicy to \(\displaystyle{ (x_n)}\) oscyluje między ich granicami (niekoniecznie okresowo - może być np. ..., g, k, \(\displaystyle{ \frac{g+k}{2}}\), g, g, g itd.) i nie każdy podciąg ciągu \(\displaystyle{ (c_n)}\): \(\displaystyle{ c_n = \frac{x_{n+1}}{x_n}}\) będzie mieć granicę, a musi bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } c_n = \lim_{n\to \infty } \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=1}\) zgodnie z wymogiem.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } g_n = \lim_{n \to \infty } k_n = \lim_{n \to \infty } x_n}\).

Ponadto, ciągi losowo wygenerowane w arkuszu kalkulacyjnym spełniające warunki zadania zawsze szybko dążą do jedynki.

[Premislav]

Nierówność
\(\displaystyle{ (x_{n+1}-x_{n})(1-x_{n}x_{n+1})\ge 0}\)
przekształcamy do równoważnej postaci:
\(\displaystyle{ x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\ge x_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}}\).
Oznacza to, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}}\) jest nierosnący; ponadto jest on ograniczony z dołu, gdyż z AM-GM
dla liczb \(\displaystyle{ x_{n}, \ \frac{1}{x_{n}}}\) mamy \(\displaystyle{ a_{n}\ge 2}\).
Wobec tego istnieje granica właściwa \(\displaystyle{ g=\lim_{n\to \infty}a_{n}}\).
Uwaga: stąd też wynika, że ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})}\) jest oraniczony, bo gdyby nie był, to istniałby jego podciąg rozbieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\),
a co za tym idzie, istniałby podciąg ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) roznieżny do \(\displaystyle{ +\infty}\), wszak \(\displaystyle{ a_{n}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}>x_{n}}\).
Oczywiście jest to wykluczone. Dalej niech \(\displaystyle{ M=\sup\left\{x_{n}: n\in \NN^{+}\right\}}\)

Udowodnimy, że dla każdego \(\displaystyle{ \delta>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{\delta}\in \NN}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n>n_{\delta}}\) zachodzi co najmniej jedna z nierówności
\(\displaystyle{ \left|x_{n}-\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|<\delta, \ \left|x_{n}-\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|<\delta}\)
Przypuśćmy nie wprost, że dla pewnego \(\displaystyle{ \delta>0}\), dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) zachodzą nierówności
\(\displaystyle{ \left|x_{n}-\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|\ge \delta, \ \left|x_{n}-\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|\ge \delta}\)
Mnożymy te nierówności stronami i mamy dla pewnego \(\displaystyle{ \delta>0}\) i nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\) nierówność
\(\displaystyle{ \left|\left(x_{n}-\frac{g}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\left(g^{2}-4\right)\right|\ge \delta^{2}}\)
a po redukcji wyrazów pod modułem i podzieleniu nierówności stronami przez dodatnie z załozenia \(\displaystyle{ x_{n}: \\ \left|x_{n}+\frac{1}{x_{n}}-g\right|\ge \frac{\delta^{2}}{x_{n}}}\)
Stąd też natychmiast wynika, że dla tegoż \(\displaystyle{ \delta}\) i nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}}\) zaszłoby:
\(\displaystyle{ \left|x_{n}+\frac{1}{x_{n}}-g\right|\ge \frac{\delta^{2}}{M} }\)
a to jest oczywista sprzeczność ze zbieżnością ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) do \(\displaystyle{ g}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ g=2}\), to w tym miejscu kończy się rozwiązanie i mamy \(\displaystyle{ x_{n}\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 1}\), nieco ciekawszy jest przypadek \(\displaystyle{ g>2}\), który poniżej rozważę.

Weźmy teraz \(\displaystyle{ \delta<\frac{\sqrt{g^{2}-4}}{2}}\).
Odnotujmy, że jeśli \(\displaystyle{ x_{n}<\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}+\delta, \ x_{n+1}>\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}-\delta}\), to
\(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}>\frac{\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}-\delta}{\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}+\delta} }\)
i \(\displaystyle{ \lim_{\delta \to 0^{+}}\frac{\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}-\delta}{\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}+\delta}=\frac{\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}}{\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}}>1}\).
Zatem gdyby dla każdego \(\displaystyle{ N\in \NN^{+}}\) i każdego \(\displaystyle{ \delta>0}\) istniały takie \(\displaystyle{ n_{1}, \ n_{2}>N}\), że
\(\displaystyle{ \left|x_{n_{1}}-\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|<\delta , \ \left|x_{n_{2}}-\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}\right|<\delta}\),
to byłoby
\(\displaystyle{ \limsup_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}\ge \frac{\frac{g+\sqrt{g^{2}-4}}{2}}{\frac{g-\sqrt{g^{2}-4}}{2}}>1}\),
co jest sprzeczne z założeniami zadania.

[Dasio11]

Z nierówności \(\displaystyle{ (x_{n+1}-x_n)(1-x_nx_{n+1}) \ge 0}\) wynika, że jeśli \(\displaystyle{ x_n \ge 1}\), to \(\displaystyle{ x_{n+1} \le x_n}\), a jeśli \(\displaystyle{ x_n \le 1}\), to \(\displaystyle{ x_{n+1} \ge x_n}\). Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi więc co najmniej jedna z możliwości:

(i) \(\displaystyle{ x_n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1} \le x_n}\);

(ii) \(\displaystyle{ x_n \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1} \ge x_n}\).

Jeśli dla prawie wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi przypadek (i), to ciąg jest od pewnego miejsca nierosnący i ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ 1}\), zatem jest zbieżny. Analogicznie jest w przypadku, gdy od pewnego miejsca zachodzi (ii). Jeśli zaś dla jakiegokolwiek \(\displaystyle{ n}\) oba warunki zachodzą jednocześnie, to wszystkie kolejne wyrazy równają się \(\displaystyle{ 1}\), a wtedy oczywiście ciąg również zbiega. Pozostaje do rozważenia przypadek, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi dokładnie jeden z powyższych warunków, a ponadto każdy z nich zachodzi dla nieskończenie wielu liczb naturalnych. Wykażemy, że wówczas \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1}\).

Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i weźmy takie \(\displaystyle{ N \in \NN}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge N}\) jest \(\displaystyle{ 1-\varepsilon \le \frac{x_{n+1}}{x_n} \le 1+\varepsilon}\). Bez straty ogólności \(\displaystyle{ N}\) spełnia warunek (i), gdyż w razie potrzeby możemy tę liczbę odpowiednio zwiększyć. Weźmy teraz taki ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ N \le N_1 < N_2 < N_3 < \ldots}\), że

- dla \(\displaystyle{ N \le n \le N_1}\) zachodzi (i),

- dla \(\displaystyle{ N_1 < n \le N_2}\) zachodzi (ii),

- dla \(\displaystyle{ N_2 < n \le N_3}\) zachodzi (i) itd.

Wykażemy, że dla \(\displaystyle{ n > N_1}\) jest \(\displaystyle{ 1-\varepsilon \le x_n \le 1+\varepsilon}\), co zakończy dowód. Ponieważ na każdym przedziale \(\displaystyle{ [N_k+1, N_{k+1}+1]}\) ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest monotoniczny, wystarczy żądaną nierówność wykazać dla liczb postaci \(\displaystyle{ n = N_k+1}\). Jeśli \(\displaystyle{ k}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ x_{N_k} \le 1 \le x_{N_k+1}}\), zatem \(\displaystyle{ 1 \le x_{N_k+1} \le (1+\varepsilon) x_{N_k} \le 1+\varepsilon}\). Jeśli zaś \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste, to w podobny sposób \(\displaystyle{ 1-\varepsilon \le x_{N_k+1} \le 1}\), QED.

[a4karo]

Ze zbieżności ciągu \(\displaystyle{ x_n+\frac{1}{x_n}}\) wynika, żę dla dowolnej kombinacji znaków zbieżny jest ciąg \(\displaystyle{ x_n^{\pm 1}}\). Teraz warunek \(\displaystyle{ \lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=1}\) implikuje, że albo \(\displaystyle{ \lim x_n=1}\) albo ciag znaków \(\displaystyle{ \pm 1}\) jest od pewnego miejsca stały (co implikuje oczywiście zbiezność ciągu \(\displaystyle{ x_n}\)