Zbadaj zbieżność ciągu.

[proszek]

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}+...+\frac{1}{3n}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \ldots + \frac{1}{2n} > a_n > \frac{1}{3n} + \frac{1}{3n} + \ldots + \frac{1}{3n} = \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}}\)
Więc ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny.

[Sir George]

Hmm

luka52, możesz chcesz też powiedzieć, że skoro \(\displaystyle{ -1\le\sin n\le1}\) to \(\displaystyle{ \sin n}\) jest zbieżny?

Poza tym nierówności masz w złą stronę (bo przecież \(\displaystyle{ \frac12\not}\)

[luka52]

Sir George, ale jeżeli wykaże się, że ciąg jest rosnący (zbadać różnicę \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_n}\)) to chyba powinno wystarczyć

[mol_ksiazkowy]

jesli rosnacy i ograniczony (od góry ) to zbiezny

[Sir George]

ale jeżeli wykaże się, że ciąg jest rosnący, (...) to chyba powinno wystarczyć

A jasne...
Tylko, że należy to oczywiście napisać, a nie zostawiać w domyśle dla czytelnika. No i pozostaje

(zbadać różnicę a_{n+1} - a_n)