Granica ciągu z sumą

[Iza8723]

Mam wykazać, że granica ciągu wynosi \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \sum_{j=1}^{n} \frac{j+1}{\log (j+1)} }{n^{2}}=0}}\)

Wskazówką jest, żeby skorzystać z tw Stolza, ale nie wiem jak to rozpisać.

[Dasio11]

Co Ci wychodzi po zastosowaniu twierdzenia Stolza?

[Iza8723]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{n+1}{\log (n+1)} }{2n-1}}\)

A powinno wyjść
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \frac{n+2}{\log (n+2)} }{2n+1}}\)

Więc gdzieś muszę robić błąd w rozpisywaniu

[Premislav]

To nie ma żadnego znaczenia, ponieważ jeśli ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest zbieżny, to
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_{n}=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}}\). Tutaj oczywiście
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\frac{n+1}{\log(n+1)}}{2n-1}}\)

W znanych mi sformułowaniach twierdzenia Stolza występowało \(\displaystyle{ a_{n}-a_{n-1}}\), nie \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_{n}}\), co by się zgadzało akurat z Twoją wersją rozwiązania, ale jak powyżej napisałem, to w ogóle nie ma znaczenia, bo to ta sama granica.

[Iza8723]

Próbuje to teraz rozpisywać z tw. Stolza i utknęłam w jednym miejscu

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\frac{ \sum_{j=1}^{n} \frac{j+1}{\log (j+1)} }{n^{2}})-(\frac{ \sum_{j=1}^{n-1} \frac{j+1}{\log (j+1)} }{(n-1)^{2}})}}}\)

Nie wiem co zrobić z mianownikiem. Wiem jak wyciągnąć w liczniku, ale trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika czy można jakoś inaczej ?

[Premislav]

Ale w jaki sposób tu zastosowałaś twierdzenie Stolza Przecież nie tak ono wygląda.
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}b_{n}=\infty, \ b_{n}}\) jest rosnący i istnieje granica właściwa \(\displaystyle{ g=\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=g}\)
U Ciebie \(\displaystyle{ a_{n}=\sum_{j=1}^{n}\frac{j+1}{\log(j+1)}, \ b_{n}=n^{2}}\)
O tyle mnie to dziwi, że to, co napisałaś poprzednio, wyglądało, jakbyś poprawnie użyła twierdzenia Stolza w tym zadaniu, a tu nagle wyjeżdżasz z czymś takim.

[Iza8723]

Właśnie dobrze użyłam wcześniej, chciałam teraz to rozpisać i nie wiem czemu napisałam taką głupotę, jakieś zaćmienie umysłu.
Dzięki jeszcze raz