Nierównośc dla ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6007
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2499 razy
Pomógł: 666 razy

Nierównośc dla ciągu

Post autor: mol_ksiazkowy » 20 maja 2020, o 14:26

Wykazać że jeśli \(\displaystyle{ a_1=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n - a_n^2}}\) dla \(\displaystyle{ n >0}\), to \(\displaystyle{ a_1...a_n < \frac{1}{\sqrt{2n}}}\).
Ostatnio zmieniony 20 maja 2020, o 19:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14868
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4925 razy

Re: Nierównośc dla ciągu

Post autor: Premislav » 27 maja 2020, o 00:07

Niech \(\displaystyle{ b_{n}=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}\). Indukcyjnie udowadniamy, że
\(\displaystyle{ b_{n}^2=\frac{1}{a_{n+1}}-1}\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawda: zachodzi
\(\displaystyle{ a_{1}=\frac{1}{2}, \ a_{2}=\frac{4}{5}}\)
toteż
\(\displaystyle{ b_{1}^2=a_{1}^2=\frac{1}{4}\\=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{a_{2}}-1}\)
zgodnie z oczekiwaniami.
W kroku indukcyjnym przy założeniu, że postulowana równość zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ b_{n+1}^2=a_{n+1}^2b_{n}^2\\=a_{n+1}-a_{n+1}^2=\frac{1}{a_{n+2}}-1}\)
przy czym ostatnia równość wynika wprost ze wzoru rekurencyjnego na \(\displaystyle{ a_{n}}\)

Wobec tego teza zadania redukuje się do \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n+1}}-1<\frac{1}{2n}}\),
czyli \(\displaystyle{ a_{n+1}>\frac{2n}{2n+1}}\)
a to można bez trudu udowodnić indukcyjnie.
Żmudne rachunki sobie daruję, pytanie "Chcecie skan z zeszytu?" kończy dowód.

ODPOWIEDZ