ograniczenie sumy

[ann_u]

Pokaż że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{n^2-k^2+k}{(n^2+(k-1)^2)(n^2+k^2)}}\le\frac{\pi\sqrt{2}}{8}}\)

[Dasio11]

Ta nierówność jest fałszywa dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).

[ann_u]

Pokaż że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{n^2-k^2+k}{(n^2+(k-1)^2)(n^2+k^2)}}\ge\frac{\pi\sqrt{2}}{8}}\)

A w takim razie teraz ?

[Dasio11]

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) sprawdzamy ręcznie, a dla większych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{n^2-k^2+k}{(n^2+(k-1)^2)(n^2+k^2)}} \ge \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{1}{n^2+(k-1)^2} \cdot \frac{n^2}{n^2+k^2}} \ge \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} = \sqrt{n^2-1} \ge \sqrt{3}}\)

i \(\displaystyle{ \sqrt{3} \ge \frac{\pi \sqrt{2}}{8}}\), tak jak trzeba.

[a4karo]

Prościej
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{1-\frac{n^2-k^2+k}{(n^2+(k-1)^2)(n^2+k^2)}}\geq \sqrt{1-\frac{n^2-n^2+n}{(n^2+(n-1)^2)(n^2+n^2)}}\geq\sqrt{1-\frac{n}{2n^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2n}}\geq\sqrt{\frac{1}{2}}>\frac{\pi\sqrt{2}}{8}}\)