Ciągi komplementarne

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że ciągi \(\displaystyle{ a_n = \frac{n(n+1)}{2} }\) i \(\displaystyle{ b_n= n+ \lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \rfloor}\) są komplementarne tj. że
i) są silnie rosnące
ii) nie mają wspólnych wyrazów
iii) każda liczba naturalna jest wyrazem jednego z tych ciągów

[Janusz Tracz]

tw. Lambek–Moser:    

Ciągi \(\displaystyle{ a_n,b_n}\) są komplementarne wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ f_n=a_n-n,g_n=b_n-n}\) są wzajemnie odwrotne (co w tym kontekście oznacza):

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ f(g(n))<n \le f(g(n)+1)}\)

czyli do

\(\displaystyle{ \frac{\left\lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor \cdot \left( \left\lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor-1\right) }{2} <n \le \frac{\left\lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor \cdot \left( \left\lfloor \sqrt{2n} + \frac{1}{2} \right\rfloor+1\right) }{2} }\)

co dla \(\displaystyle{ m=2n}\) zapiszemy

\(\displaystyle{ \left\lfloor \sqrt{m} + \frac{1}{2} \right\rfloor \cdot \left( \left\lfloor \sqrt{m} + \frac{1}{2} \right\rfloor-1\right) <m \le \left\lfloor \sqrt{m} + \frac{1}{2} \right\rfloor \cdot \left( \left\lfloor \sqrt{m} + \frac{1}{2} \right\rfloor+1\right) }\)

dla \(\displaystyle{ m=k^2}\) nierówność prowadza się do:

\(\displaystyle{ k^2-k<k^2 \le k^2+k}\)

dla pozostałych \(\displaystyle{ m}\) czyli takich, że \(\displaystyle{ (k-1)^2<m<k^2}\) mam problem z pokazaniem tego. (szkic) Podejrzewam, że trzeba rozważać przypadki \(\displaystyle{ k-1 \le \left\lfloor \sqrt{m} + \frac{1}{2} \right\rfloor \le k }\) zatem do pokazania prawie nierówności bierzmy \(\displaystyle{ k-1}\) analogicznie do pokazania lewie bierzmy \(\displaystyle{ k}\).

edit: literówki

[a4karo]

To może bez dużych twierdzeń: ścisła monotoniczność obu ciągów jest oczywista. Ponieważ wyrazy ciągu `a_n` to liczby trójkątne, odstępy pomiędzy kolejnymi wartościami wyrazów tego ciągu sa kolejnymi liczbami naturalnymi

Z kolei wyrazy ciągu `b_n` rosną o `1` gdy wyrażenie `\sqrt{2n}` nie jest liczbą całkowitą, a o dwa gdy jest. Łatwo sprawdzić, że odstępy pomiędzy dwiema takimi liczbami są odcinkami liczb naturalnych, których długości są równe kolejnym liczbom naturalnym. A zatem zbiór wartości ciągu `b` ma dokładnie taką strukturę jak zbiór "dziur" w zbiorze wartości ciągu `a`.

Wystarczy teraz sprawdzić co jest na początku, żeby się przekonać, że oba te zbiory się dopełniają.