Granica ciągu rozbieżnego

[Niepokonana]

Dzień dobry proszę o odpowiedź. W moim zbiorze coś jest nie tak z odpowiedziami, więc nie wiem, czy robię dobrze. Jak to dokończyć?
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{(1-2^{n})^2-4^{n}}{3^{n}-2\cdot 6^{n}}= \lim_{n\to\infty} \frac{1-2\cdot 2^{n}}{3^{n}-2\cdot 6^{n}}
}\) Mi się wydaje, że tu wyjdzie zero dzielone na nieskończoność...

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{\red{x}\to \infty}\frac{\left(1-2^{n}\right)^{2}-4^{n}}{3^{n}-2\cdot 6^{n}}=\frac{\left(1-2^{n}\right)^{2}-4^{n}}{3^{n}-2\cdot 6^{n}}}\)
Pozdrawiam z rodzinką z niesłonecznej Warszawy.

Dodano po 10 minutach 36 sekundach:
A tak na serio, podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 6^{n}}\).

[a4karo]

I zauważ, że `(a-b) ^2\ne a^2-b^2 `

[Premislav]

a4karo, przez chwilę tez myślałem, że z czegoś takiego skorzystała, ale wszystko jest git, wszak
\(\displaystyle{ \left(1-2^{n}\right)^{2}-4^{n}=1-2\cdot 2^{n}+4^{n}-4^{n}=1-2\cdot 2^{n}}\)

[Niepokonana]

I zauważ, że `(a-b) ^2\ne a^2-b^2 `

Nie jestem idiotką.
A to nie jest tak, że \(\displaystyle{ (2^{n})^{2}=2^{2n}}\), a \(\displaystyle{ 4^{n}=(2^{2})^{n}=2^{2n}}\)? Wtedy te dwie liczby by się skróciły. A więc tak nie jest?

[a4karo]

I zauważ, że `(a-b) ^2\ne a^2-b^2 `

Nie jestem idiotką.
A to nie jest tak, że \(\displaystyle{ (2^{n})^{2}=2^{2n}}\), a \(\displaystyle{ 4^{n}=(2^{2})^{n}=2^{2n}}\)? Wtedy te dwie liczby by się skróciły. A więc tak nie jest?

Słusznie, przepraszam

[Niepokonana]

Nie gniewam się, ale jak to zrobić dalej? Chyba nie może wyjść zero dzielone na nieskończoność, bo to symbol nieoznaczony. Cokolwiek to znaczy.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \frac{0}{\infty}}\) nie jest symbolem nieoznaczonym. A co zrobić dalej, napisał Ci Premislav:

A tak na serio, podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 6^{n}}\).

[Niepokonana]

Naprawdę nie jest? Czyli co? Granica to po prostu zero?

Ale ja nie słucham Premislava, bo on mnie chce zdenerwować, nie chce mi pomóc. Naprawdę Premislav ma rację? Ale wtedy wychodzi zero przez nieskończoność.

[Dasio11]

Ale wtedy wychodzi zero przez nieskończoność.

Lepiej pokaż swoje rachunki, bo po podzieleniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ 6^n}\) nie wychodzi zero przez nieskończoność, choć wynik końcowy się zgadza.

[Niepokonana]

No faktycznie nie wychodzi zero przez nieskończoność, tylko zero przez minus dwa. A w odpowiedzi jest, że nieskończoność... Coś te odpowiedzi są popsute i to nie tylko to zadanie.

Dodano po 17 minutach 11 sekundach:
Mam drugie pytanie z tego samego tematu. "Oblicz granicę z twierdzenia o trzech ciągach" \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n} \sin n}\). Myślałam, że cztery podstawowe funkcje trygonometryczne nie mają granic.

[Janusz Tracz]

Mam drugie pytanie z tego samego tematu. "Oblicz granicę z twierdzenia o trzech ciągach" \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{n} \sin n}\).

Zauważ, że:

\(\displaystyle{ -1 \le \sin n \le 1}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{-1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n} }\)

Do czego dążą te ograniczenia? Jaki z tego wniosek?

Myślałam, że cztery podstawowe funkcje trygonometryczne nie mają granic.

Bardzo odważne stwierdzenie. Poza tym niepoprawne.

[Niepokonana]

Jak to mają granice, jak idą raz do góry, raz do dołu? Jak to możliwe?

[Janusz Tracz]

Jak to mają granice

Nie powiedziałem, że mają. Czasem mają a czasem nie. Bo do póki nie powiesz o jaką granicę funkcji trygonometrycznej chodzi to nie można nic powiedzieć o jej istnieniu. Przykładowo:

Jeśli liczymy granice funkcji \(\displaystyle{ \sin :\RR \rightarrow [-1,1]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\sin x}\)

to faktycznie granica ta nie istnieje bo tak jak mówisz \(\displaystyle{ \sin}\) raz idzie do góry a raz na dół (choć formalny argument wygląda trochę inaczej i jest dość prosty). Jeśli jednak liczby granicę ciągu \(\displaystyle{ \sin :\NN \rightarrow [-1,1]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin n}\)

to też okazuje się, że nie istnieje ale dowód na to już jest znacznie inny oraz trudniejszy. Ale już:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin \pi n}\)

istnieje, podobnie

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 }\sin x}\)

istnieje mimo, że są to granice funkcji trygonometrycznych. Mało tego jesteś w stanie tak wybrać liczby naturalne, że skacząc tylko po nich stworzysz ciąg (powiedzmy) \(\displaystyle{ a_n}\) taki, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin a_n}\)

istnieje a nawet może przyjmować dowolną wartość z \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right] }\). Ten ostatni przykład zdecydowanie najtrudniejszy wykracza już poza standardowe omówienie granice w liceum, więc tym akurat głowy sobie nie musisz zawracać. Niemniej jednak podejście:

\(\displaystyle{ \text{widzę sinus w granicy} \Rightarrow \text{ ooo hura! to pewnie granica nie istnieje }}\)

prowadzi do błędów.