Granica ciągu a definicja ciągu

[inusia146]

Mam następujące zadanie:
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_n = \frac{3n^2-3n+7}{n-25}}\).
Potrafię obliczyć tę granicę, ale moją wątpliwość budzi coś innego. Otóż zgodnie z definicją ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. W powyższym przypadku jednak \(\displaystyle{ n}\) musi być różne od \(\displaystyle{ 25}\), zatem jak możemy mówić o ciągu, skoro wyraz \(\displaystyle{ a_{25}}\) nie istnieje?

[Jan Kraszewski]

Otóż zgodnie z definicją ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. W powyższym przypadku jednak \(\displaystyle{ n}\) musi być różne od \(\displaystyle{ 25}\), zatem jak możemy mówić o ciągu, skoro wyraz \(\displaystyle{ a_{25}}\) nie istnieje?

Bez problemu można rozszerzyć tę definicję pozwalając, by dziedzina była zbiorem liczb naturalnych większych od ustalonej liczby naturalnej. Można też dodefiniować ten ciąg, określając osobno \(\displaystyle{ a_{25}}\). Żadne z tych działań nie wpływa na granicę, więc na ogół nikt się takim doprecyzowywaniem nie przejmuje.

JK

[MartinYakuza]

Taki ciąg nie musi mieć wszystkich wyrazów. Obchodzi nas tylko co dzieje się w nieskończoności (a więc daleko od problematycznego miejsca). Problem mógłby się pojawić np. przy liczeniu sumy 100 pierwszych wyrazów \(\displaystyle{ \{a_n\}}\).

[Jan Kraszewski]

Taki ciąg nie musi mieć wszystkich wyrazów.

Praktycznie nie musi, ale inusia146 pytała o stronę formalną i pytanie było słuszne, bo ściśle rzecz biorąc wzór \(\displaystyle{ a_n = \frac{3n^2-3n+7}{n-25}}\) nie definiuje ciągu. Tę niedogodność formalną można łatwo usunąć, a ponieważ nie ma ona w tym wypadku wpływu na istotę rzeczy (czyli granicę ciągu), więc na ogół nikt nie zawraca sobie tym głowy.

JK