Granica i rekurencja

[mol_ksiazkowy]

Mianowniki i liczniki wszystkich wyrazów tego ciągu określa rekurencja \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_n +a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\):

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} , \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, ... }\)

Udowodnić, że ten ciag jest zbieżny do \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\)

[Gosda]

Wskazówka: to są kolejne redukty rozwinięcia pierwiastka z dwóch w ułamek łańcuchowy