Analiza matematyczna - twierdzenie o trzech ciągach

[1KAER1]

Witam!

Miałem do rozwiązania zadanie z wykorzystaniem twierdzenia o trzech ciągach:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\sin(n)}{n+ \sqrt[n]{2} } }\)

Chciałem spytać czy moje rozwiązanie jest poprawne:

\(\displaystyle{
\frac{-1}{n+ \sqrt[n]{2} } \le \frac{\sin(n)}{n+ \sqrt[n]{2} } \le \frac{1}{n+ \sqrt[n]{2} }
}\)

\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{n+ \sqrt[n]{2} } = \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{\infty + 1} = 0
}\)

\(\displaystyle{
\lim_{ n\to \infty} \frac{1}{n+ \sqrt[n]{2} } = \lim_{ n\to \infty} \frac{1}{\infty + 1 } = 0
}\)

odp. Na mocy twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{\sin(n)}{n+ \sqrt[n]{2} } = 0 }\)

[Janusz Tracz]

Jest ok. Jednak zapis:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{\infty + 1} = 0 }\)

jest słaby. Po prostu:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{n+ \sqrt[n]{2} } = 0 }\)

[Jan Kraszewski]

Jednak zapis:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{\infty + 1} = 0 }\)

jest słaby.

A nawet niepoprawny...

JK

[1KAER1]

Jednak zapis:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{\infty + 1} = 0 }\)

jest słaby.

A nawet niepoprawny...

JK

Dzięki za zwrócenie uwagi. Chociaż tutaj zapisałem sobie to bardziej jako skrót myślowy, do czego poszczególne wartości dążą, absolutnie nie miałem zamiaru tego zapisać jako normalne wyrażenie

[Jan Kraszewski]

Jak już musisz robić skrót myślowy, to tak: \(\displaystyle{ \left[ \frac{-1}{\infty + 1}\right] = 0}\).

W zapisie \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{-1}{\infty + 1}}\), poza jego formalną niepoprawnością niedobre jest to, że równocześnie przechodzisz do granicy (bo \(\displaystyle{ \infty}\)) i zostawiasz granicę (bo \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}}\)).

JK

[Janusz Tracz]

Wizualnie taki zapis kojarzy mi się tak jakbyś kogoś trzymał rękami ale z drugiej strony go kopał i odpychał nogą. Teraz wyobraź sobie, że tym kimś jest \(\displaystyle{ n}\). Nogą wykopujesz go do \(\displaystyle{ \infty }\) ale rękami go trzymasz, co nie może się dobrze skończyć.