Granice iterowane

[Micaaalo]

Witam. Mam takie zadanie: Oblicz granice iterowane funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{3x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Czy istnieje granica funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)? Dlaczego?

Więc tak, żeby wyliczyć te granice wziałem sobie ciagi (\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\),\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)) i (\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\),\(\displaystyle{ \frac{-1}{n}}\)) wyszło mi że granica jest równa \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

Mam problem jednak w obliczeniu granic iterowanych bo wychodzi że [\(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\)], co z tym zrobić?

[Janusz Tracz]

Granice iterowana nie będą dawały symbolu nieoznaczonego pokaż obliczenia. W granicy w \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie wyjdzie \(\displaystyle{ 3/2}\) to raz a dwa to, że podstawienie dwóch ciągów nie jest dowdem (choć wyłoni kandydata na wynik). Spróbuj oszacować wyrażanie z góry.

[Micaaalo]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} ( \lim_{y\to 0} ( \frac{3x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}) = ]\lim_{x\to 0} ( \frac{3x^{2}\cdot 0}{x^{2} + 0} ) = [\frac{0}{0}] }\) - może coś źle robię, nie wiem , z \(\displaystyle{ y \rightarrow 0}\) ( \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\) mam tak samo

a co do tych ciągów to faktycznie mam źle, mam \(\displaystyle{ \frac{3}{2n^{2}} }\)

[Jan Kraszewski]

A skąd dziwny pomysł, że w tej granicy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{3x^{2}\cdot 0}{x^{2} + 0} = \left[ \frac{0}{0}\right] }\)

masz symbol nieoznaczony? Chciałbym zwrócić Ci uwagę, że \(\displaystyle{ \frac{3x^{2}\cdot 0}{x^{2} + 0}=0}\), więc to jest granica funkcji stałej.

JK

[Micaaalo]

Aha. Czyli będzie 0 i 0 z tych iterowanych, czyli istnieje ta granica w punkcie (0,0). Powinienm tu jeszcze coś zrobić do tego zadani?

[Premislav]

Ale mnie to wkurza, tyle tu piszecie, a nikt nie zwrócił uwagi na to, że popełniono błąd, ponieważ granice są literowane, a nie iterowane. xDDD Przepraszam, nie mogłem się powstrzymać, odbija mi się temat „humor zeszytów", czy jak on tam się nazywał.

Chciałbym Cię jednak uczulić, że z istnienia i równości granic iterowanych funkcji w punkcie nie wynika istnienie granicy funkcji w tymże punkcie. Akurat tutaj i tak wychodzi granica równa zero, bo \(\displaystyle{ 0\le 3x^{2}y^{2}=\frac{3}{4}\cdot 4x^{2}y^{2}\le \frac{3}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\), ale wystarczy trochę pozmieniać wykładniki w liczniku i już ten problem się uwidacznia:
granice iterowane
\(\displaystyle{ \lim_{y\to 0}\left(\lim_{x\to 0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\left(\lim_{y\to 0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)}\)
istnieją i są obie równe zero, ale granica funkcji nie istnieje, bo gdy \(\displaystyle{ x=y}\) są niezerowe, to ten ułamek przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)