Średnie średnich

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a \circ b = \frac{a+b}{2} }\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ n}\) ty wyraz ciągu \(\displaystyle{ 1 \circ 2, (1 \circ 2) \circ 3 , ((1 \circ 2) \circ 3) \circ 4, ... }\)

[a4karo]

Sprowadza się do równania rekurencyjnego \(2a_n=a_{n-1}+n\)

Dodano po 19 godzinach 6 minutach 2 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ a_n=(((1\circ 2)\circ 3)\circ \dots\circ(n-1))\circ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+n+1}{2}}\). Ponadto \(\displaystyle{ a_2=\frac{3}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ b_n=a_n+pn+q}\). Będziemy szukać parametrów `p,q` takich, aby ciag `b_n` był geometryczny. Mamy
\(\displaystyle{ b_{n+1}=a_{n+1}+p(n+1)+q=\frac{a_n+n+1}{2}+p(n+1)+q=\frac{b_n-pn-q+n+1}{2}+p(n+1)+q=\frac{b_n}{2}+\frac{(1+p)n+2p+q+1}{2}}\)

Widać, że dla \(p=-1\) i \(q=1\) mamy \(\displaystyle{ b_{n+1}=b_n/2}\), skąd dostajemy \(\displaystyle{ b_n=\frac{b_2}{2^{n-2}}}\)

Zatem \(\displaystyle{ a_n=\frac{b_2}{2^{n-2}}+n-1}\). Wstawiając `n=2` dostaniemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=b_2}\), więc

$$a_n=n-1+\frac{1}{2^{n-1}}.$$